|
 Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
 Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство. Построение. 1. 2. 3. 1. 2. () 4. , 5. 6. , 3. 4. , Допустим, . , . Допущение неверно, единственная прямая перпендикулярная к. Что и требовалось доказать.
 Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой и притом только одна. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
 Задача. квадрат, точка пересечения диагоналей. . Доказать: а) ; б). Доказательство. Что и требовалось доказать. 1. 2. (свойство диагоналей квадрата) 3. , 4. 5. 6.
 Задача. Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. Доказательство. Что и требовалось доказать. , 1. , 2. , 3. 4. , 5. 6. , 7. , 8. 9.
 Задача. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны. Доказательство. Что и требовалось доказать. 1. 2. 3. , 4. Допустим: , . В!? Допущение неверно. 5. ,
 Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны.
Соглашение
Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":
Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;
Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);
Запрещается использовать чужие данные;
Запрещается использовать чужие e-mail адреса;
Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:
1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.
1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).
1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.
4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.
4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.
4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".
4.4. Угрозы в адрес участников форума.
4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.
4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.
4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.
4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.
5.1. Мат и ненормативная лексика.
5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).
5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.
5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.
5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.
5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).
5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.
5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.
5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.
5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.
6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.
6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.
6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.
6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.
6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.
6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.
7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума
7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.
7.4. Удаление учетной записи.
7.5. Блокировка IP.
8. Примечания
8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.
8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.
8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.
8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.
9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.
|
Повторите параграф 1 пункт15- 18, все свойстваи теоремы записаны у вас в тетради, изучите параграф 18,запишите в тетрадь теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.
|
| Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.
|
рис. 38
| Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .
|
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны. Изучите ответы на вопросы: В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. (Да, например куб.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая параллельна этой прямой. (Нет, перпендикулярна.) Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. (Нет, т. к. по условию прямые могут лежать в этой плоскости.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая параллельна плоскости. (Нет, перпендикулярна.) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. (Да, по признаку.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам треугольника, лежащим в этой плоскости. (Да.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам квадрата. (Нет.) 
В тетраэдре ABCD (рисунок 1) BCD = ACD =90°, Верно ли, что на рисунке ребра АВ, АС, ВС, перпендикулярны CD? (Да.),
 Дано: ∆ АВС, ВМ АВ, ВМ ВС, D АС.
|
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости
.
Утверждение
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство
(см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а
и точка М
. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М
и которая перпендикулярна прямой а
.
Через прямую а
проведем плоскости α и β так, что точка М
принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а
. В плоскости α через точку М
проведем перпендикуляр MN
(или р
) к прямой а,
.
В плоскости β из точки N
восстановим перпендикуляр q
к прямой а
. Прямые р
и q
пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а
перпендикулярна двум пересекающимся прямым р
и q
из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а
перпендикулярна плоскости γ.
Теорема
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Доказательство
.
Пусть дана плоскость α и точка М
(см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М
проходит единственная прямая с
, перпендикулярная плоскости α
.
Проведем прямую а
в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М
можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а
. Пусть прямая b
- линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М
проведем прямую с
, перпендикулярную прямой b
.
Прямая с
перпендикулярна b
по построению, прямая с
перпендикулярна а
(так как прямая а
перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с,
лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с
перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с
перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с
единственная.
Предположим, что существует прямая с
1 , проходящая через точку М
и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с
и с 1
перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с
и с 1
параллельны. Но по построению прямые с
и с 1
пересекаются в точке М
. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М
и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а
, то они параллельны.
Доказательство:
Проведем прямую с
параллельно прямой а
. По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а
пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с
пересекает плоскость α в некоторой точке А
и плоскость β в точке В.
Прямая а
перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с
перпендикулярна плоскостям α и β.
Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М
- общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ
угол МАВ
равен 90° и угол АВМ
равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.
Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Доказательство
:
Пусть дана прямая а
и точка М
. Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М
, перпендикулярная прямой а
. Докажем ее единственность.
Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М
, перпендикулярная прямой а
. Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а,
а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М
принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а
, что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 15, 16, 17 стр. 58
2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
а) двум сторонам треугольника
б) двум сторонам трапеции
в) двум диаметрам круга.
3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
4. Прямые а,
b
, с
лежат в плоскости α. Прямая m
перпендикулярна прямым а
и b
, но не перпендикулярна с
. Каково взаимное расположение прямых а
и b
?
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости
.
Утверждение
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство
(см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а
и точка М
. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М
и которая перпендикулярна прямой а
.
Через прямую а
проведем плоскости α и β так, что точка М
принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а
. В плоскости α через точку М
проведем перпендикуляр MN
(или р
) к прямой а,
.
В плоскости β из точки N
восстановим перпендикуляр q
к прямой а
. Прямые р
и q
пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а
перпендикулярна двум пересекающимся прямым р
и q
из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а
перпендикулярна плоскости γ.
Теорема
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Доказательство
.
Пусть дана плоскость α и точка М
(см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М
проходит единственная прямая с
, перпендикулярная плоскости α
.
Проведем прямую а
в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М
можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а
. Пусть прямая b
- линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М
проведем прямую с
, перпендикулярную прямой b
.
Прямая с
перпендикулярна b
по построению, прямая с
перпендикулярна а
(так как прямая а
перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с,
лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с
перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с
перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с
единственная.
Предположим, что существует прямая с
1 , проходящая через точку М
и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с
и с 1
перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с
и с 1
параллельны. Но по построению прямые с
и с 1
пересекаются в точке М
. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М
и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а
, то они параллельны.
Доказательство:
Проведем прямую с
параллельно прямой а
. По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а
пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с
пересекает плоскость α в некоторой точке А
и плоскость β в точке В.
Прямая а
перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с
перпендикулярна плоскостям α и β.
Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М
- общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ
угол МАВ
равен 90° и угол АВМ
равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.
Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Доказательство
:
Пусть дана прямая а
и точка М
. Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М
, перпендикулярная прямой а
. Докажем ее единственность.
Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М
, перпендикулярная прямой а
. Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а,
а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М
принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а
, что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 15, 16, 17 стр. 58
2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
а) двум сторонам треугольника
б) двум сторонам трапеции
в) двум диаметрам круга.
3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
4. Прямые а,
b
, с
лежат в плоскости α. Прямая m
перпендикулярна прямым а
и b
, но не перпендикулярна с
. Каково взаимное расположение прямых а
и b
?
