Төлөвлөсөн зураг ба проекцын хавтгайн харьцангуй байрлалыг проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар P1 ба P2 онгоцыг шинэ P4 онгоцоор солих замаар хүрнэ (Зураг 8.4). Шинэ онгоцыг хуучин онгоцнуудтай перпендикуляраар сонгоно. Зарим проекцийн өөрчлөлтүүд нь проекцын хавтгайг давхар солихыг шаарддаг (Зураг 8.5). Проекцын хавтгайн нэг системээс нөгөө рүү дараалан шилжихдээ дараах дүрмийг баримтална: цэгийн шинэ проекцоос шинэ тэнхлэг хүртэлх зай нь тухайн цэгийн проекцоос солигдсон тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байх ёстой. .

Даалгавар 1: Ерөнхий байрлал дахь шулуун шугамын AB сегментийн байгалийн хэмжээг тодорхойл (Зураг 8.4). Зэрэгцээ проекцын шинж чанараас харахад хэрчмийг энэ хавтгайтай параллель байвал хавтгайд бүрэн хэмжээгээр проекц хийдэг болохыг мэддэг. AB хэрчимтэй параллель, P1 хавтгайд перпендикуляр P4 шинэ проекцын хавтгайг сонгоцгооё. Шинэ хавтгайг нэвтрүүлснээр бид P1P2 хавтгайн системээс P1P4 систем рүү шилжих ба шинэ хавтгайн системд A4B4 сегментийн проекц нь AB сегментийн байгалийн хэмжээтэй байх болно.

Зураг 8.4. Проекцын хавтгайг солих замаар шулуун шугамын сегментийн байгалийн утгыг тодорхойлох

Даалгавар 2: С цэгээс AB хэрчимээр өгөгдсөн ерөнхий шулуун хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 8.5).

Зураг 8.5. Проекцын хавтгайг солих замаар шулуун шугамын сегментийн байгалийн утгыг тодорхойлох

проекцын объект руу шинэ, тэдэнтэй холбоотой хувийн, албан тушаал.

Хувьсгалын гадаргуу

Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд генераторын эргэлтийн хөдөлгөөнөөр эргэлтийн ерөнхий гадаргуу үүсдэг.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх үед үүсгэгч шугамын цэг бүр нь эргэлтийн тэнхлэг дээр төвтэй тойрог дүрсэлдэг. Эдгээр тойргийг параллель гэж нэрлэдэг.

Хувьсгалын гадаргуугийн параллель (тойрог) -ын хамгийн том нь гадаргуугийн экватор гэж нэрлэгддэг ба хамгийн жижиг нь гадаргуугийн хоолой (хүзүү) юм.

Эргэлтийн гадаргуугийн тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайг меридианаль, тэдгээрийн дагуух гадаргууг огтолж буй шугамыг меридиан гэж нэрлэдэг. Проекцын хавтгайтай параллель орших меридиан хавтгайг үндсэн меридиан хавтгай гэнэ.

Гол меридианы хавтгайн эргэлтийн гадаргуутай огтлолцох шугамыг гол меридиан гэнэ.

Хувьсгалын гадаргуугийн хавтгайн огтлолцол

Хувьсгалын гадаргууг хавтгайтай огтлолцох үед хавтгай огтлолын дүрс гарч ирнэ. Хэсгийн шугамын төсөөллийг барих нь лавлах цэгүүдийг тодорхойлохоос эхлэх ёстой. Үүнд гадаргуугийн контур дээр байрлах цэгүүд (муруйн төсөөллийн харагдах байдлын хил хязгаарыг тодорхойлдог цэгүүд), проекцын хавтгайгаас хэт (хамгийн их ба хамгийн бага) зайд байрлах цэгүүд орно. Үүний дараа огтлолын шугамын дурын (завсрын) цэгүүдийг тодорхойлно.

Хэсгийн зурагт хамаарах цэгүүдийг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн аргыг ашиглаж болно. Тэдгээрийн нэг нь туслах зүсэх онгоцны арга юм. Үүний мөн чанар нь өгөгдсөн хавтгай ба эргэлтийн гадаргуу нь туслах хавтгайгаар огтлолцдогт оршино. Энэ хавтгайн өгөгдсөн хавтгай ба эргэлтийн гадаргуутай огтлолцох шугамуудыг ол. Дараа нь үүссэн огтлолцлын шугамууд огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ. Хэсгийн зургийн баригдсан цэгүүд нь гөлгөр шугамаар холбогдсон байна.

Хувьсгалын гадаргуугийн хөгжил

Хувьсгалын гадаргуугийн бүтээн байгуулалтыг бүтээх нь ялангуяа хуудас материалаас янз бүрийн бүтэц, металл цутгамал хэв, сав, дамжуулах хоолой, танк гэх мэт загваруудыг барихад чухал ач холбогдолтой юм.

Ойролцоогоор шүүрдэх

Хагархай, нугалаагүй хавтгайтай зэрэгцэж болох гадаргууг хөгжүүлэх боломжтой гадаргуу гэж нэрлэдэг. Боловсруулж болох гадаргууг хавтгайтай хослуулан олж авсан дүрсийг хөгжүүлэлт гэж нэрлэдэг.

Боловсруулах боломжтой гадаргуугийн хувьд ойролцоогоор бүтээн байгуулалтыг хийж болно.

Ойролцоогоор бүтээн байгуулалтыг барихдаа гадаргууг тэгш өнцөгт эсвэл гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй, бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн олон талтуудын гадаргуугаар ойртуулна. Тиймээс гадаргуугийн боловсруулалтыг графикаар гүйцэтгэхдээ гадаргууд хамаарах муруй шугамыг үргэлж шулуун эсвэл шулуун болгох шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь гарцаагүй нарийвчлал алдагдахад хүргэдэг.

Эргэлтийн конус

Дээд талаас харахад конусыг тойрог хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь конусын суурь ба түүний хажуугийн гадаргуугийн хэвтээ төсөөлөл юм (Зураг 26). Тойргийн төв нь конусын дээд хэсгийн хэвтээ проекц юм. Үндсэн болон зүүн харагдац нь хоёр талт гурвалжин юм.

Конус дээр призм хэлбэрийн нүх байх ба конусыг нүхтэй огтлолцох шугам дээр A (A 2) цэг байрлана.

Конусыг шулуун шугам ашиглан цэгүүдийг барьж болох дүрэмтэй гадаргуу гэж үзэж болно. А цэгийн А 1 проекцийг l генерацийн l2 ба l1 проекцуудыг ашиглан бүтээв.

Бөмбөрцгийн бүх төсөөлөл нь тойрог юм. Тэдний диаметр нь бөмбөрцгийн диаметртэй тэнцүү байна. Зураг бүр дээр төв шугам зурсан.

Зураг дээр. 27-р зурагт хоёр хавтгайгаар таслагдсан бөмбөрцгийн зургийг харуулсан ба бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх А (A 1, A 2, A 3) цэгийн бүтцийг харуулав.

Цагаан будаа. 26. Эргэлтийн конус

Цагаан будаа. 27. Бөмбөрцөг

Хэрэв бид конусыг эргэлтийн гадаргуу гэж үзвэл цэг барих асуудлыг шийдэхийн тулд түүнийг бөмбөрцөг, торустай хослуулах нь сонирхолтой юм.

Аксонометрийн хэтийн төлөвийн янз бүрийн хэлбэрүүдэд хэтийн төлөвийн гажуудал байхгүй бөгөөд үүний үр дүнд зураг нь ердийн, энгийн болж хувирдаг. Аливаа зүйлийн хэлбэрийг яг хэмжээгээр нь (шаардлагатай бол) барьж, объектын объектив мөн чанарыг ойлгосноор "миний харж байгаагаар биш, харин байх ёстой" байдлаар дүрсэлж болно. Энэ бол техникийн зургийн онцлог, хэрэгжүүлэхэд хялбар байдал бөгөөд энэ нь шаардлагатай ур чадварыг харьцангуй хурдан олж авах боломжийг олгодог.

Цилиндрийн гадаргуугийн хөгжил нь тэгш өнцөгт ба хоёр тойргоос бүрдэнэ. Тэгш өнцөгтийн нэг талыг цилиндрийн өндөртэй, нөгөө талыг нь суурийн тойрогтой тэнцүү хэмжээгээр авна.

Тэгш өнцөгт дээр хоёр тойрог бэхлэгдсэн бөгөөд диаметр нь цилиндрийн суурийн диаметртэй тэнцүү байна.

Конусын гадаргуугийн хөгжил нь салбараас бүрдэх хавтгай дүрс юм - хажуугийн гадаргуугийн хөгжил ба тойрог - конусын суурь.

Барилга угсралтын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
1. Төвийн шугамыг зурж, түүн дээр авсан S цэгээс S урттай тэнцүү радиустай дүрсл.<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. Үүссэн зураг дээр тойрог хавсаргав. Энэ тойргийн диаметр нь конусын суурийн диаметртэй тэнцүү байна. Тойргийн төв нь төвийн шугам дээр хэвтэх ёстой бөгөөд ингэснээр тойрог нь хажуугийн гадаргуугийн шүүрдэх нуманд хүрнэ.

Цилиндр ба mshcm-ийн p;i ирмэгийг барих үед тойргийн тойргийг C nD томъёогоор эсвэл графикаар тодорхойлж болно. График барилгын хувьд тойргийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, дараа нь шулуун шугам дээр (цилиндрийн хувьд) эсвэл тойрог нуман дээр (конусын хувьд) байрлуулна.

ЗУРАГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ГЕОМЕТРИЙН ТОДОРХОЙЛОЛТЫН ДӨРВӨН ҮНДСЭН АЖИЛТ

Лекц 6

Метрийн шийдлийг хялбарчлах, түүнчлэн зарим байрлалын асуудлыг шийдэхийн тулд ерөнхий байрлалын тооноос тодорхой тоо руу шилжих боломжийг олгодог аргуудыг ашиглаж болно. Эдгээр аргууд нь хоёр зарчим дээр суурилдаг:

1) проекцын хавтгайн системийг тогтсон геометрийн объект тодорхой байр суурь эзэлдэг шинэ хавтгай системээр солих ( проекцын хавтгайг солих арга);

2) геометрийн объектыг проекцын хавтгайн тогтмол системд тодорхой байрлалд байлгахын тулд орон зайд шилжүүлэх ( эргүүлэх арга).

Геометрийн объект эргэлдэж буй орон зай дахь тэнхлэгийн байршлаас хамааран дараахь төрлийн эргэлтийн аргуудыг ялгадаг.

1) түвшний шугамын эргэн тойронд эргэлт;

2) төслийн шугамын эргэн тойронд эргүүлэх;

3) хавтгай параллель хөдөлгөөн.

Эдгээр хувиргах аргууд нь орно Дүрслэх геометрийн дөрвөн үндсэн даалгавар:

1. Цогцолбор зургийг ерөнхий шулуун шугамыг түвшний шугам болгон хувиргах.

2. Түвшингийн шугамыг проекцын шулуун шугам болгохын тулд цогц зургийг хувиргах.

3. Ерөнхий байрлалын хавтгай нь проекцын түвшний хавтгай болохын тулд цогц зургийг өөрчлөх.

4. Проекцын хавтгай нь түвшний хавтгай болохын тулд цогц зургийг өөрчлөх.

Энэ аргын мөн чанар нь төсөөлж буй объект орон зай дахь байрлалаа өөрчлөхгүй, харин проекцын хавтгайн системийг сольсон явдал юм. Нэг, хоёр ба түүнээс дээш онгоцыг сольж болно. Орлуулах ажлыг геометрийн объект шинэ проекцын хавтгайтай харьцуулахад тодорхой байр суурь эзлэх хүртэл гүйцэтгэнэ. Энэ тохиолдолд шинэ хавтгай нь үлдсэн "хуучин" проекцын хавтгайд перпендикуляр байх ёстой.

Нэг цэг авч үзье А, проекцын хавтгайн ортогональ системд байрлаж, хэвтээ проекцын P 1 хавтгайг эргэн тойронд нь байрлал руу эргүүлж, проекцын хавтгайн шинэ ортогональ системийг олж авна. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Проекцийн хавтгайн шинэ систем дэх цэгээс "хуучин" проекцын хавтгай хүртэлх зай өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх ёстой.

1 үндсэн ажил.Ерөнхий байрлалын шулуун шугамыг түвшний шулуун шугам болгон хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг тодорхойлж чадна.

Сегментийн байгалийн урт;

Проекцын хавтгайд шулуун шугамын налуугийн өнцөг.

2 үндсэн ажил.Түвшингийн шулуун шугамыг төсөөлж буй шулуун шугам болгон хувиргаснаар та дараахь зүйлийг олж чадна.

Цэг ба шугамын хоорондох зай;

Зэрэгцээ эсвэл огтлолцох шугам хоорондын зай гэх мэт.

3 үндсэн ажил.Ерөнхий байрлалын хавтгайг проекцын хавтгай болгон хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг тодорхойлж чадна.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай эсвэл зэрэгцээ хавтгай хоорондын зай;

Онгоцны проекцын хавтгайд налуугийн өнцөг.

4 үндсэн ажил.Проекцын хавтгайг түвшний хавтгай болгон хувиргаснаар дараахь зүйлийг олж болно.

Бодит хэмжээтэй хавтгай дүрс;

огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг;

Хязгаарлагдмал буюу бичээстэй тойргийн төв;

Өнцгийн биссектрис гэх мэтийг байгуул.

Төлөвлөсөн зураг ба проекцын хавтгайн харьцангуй байрлалыг проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар өөрчлөх нь онгоцыг солих замаар хийгддэг. П 1 Тэгээд П 2 шинэ онгоцууд П 4 (Зураг 7.1). Шинэ онгоцыг хуучин онгоцнуудтай перпендикуляраар сонгоно. Зарим проекцын хувиргалт нь проекцийн хавтгайг давхар солихыг шаарддаг (Зураг 7.2). Проекцын хавтгайнуудын нэг системээс нөгөө системд дараалсан шилжилтийг дараахь дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой. цэгийн шинэ проекцоос шинэ тэнхлэг хүртэлх зай нь тухайн цэгийн солигдсон проекцоос сольсон тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байх ёстой.

Даалгавар 1:Сегментийн байгалийн хэмжээг тодорхойлох AB ерөнхий заалтуудын шулуун шугам (Зураг 7.1).

Зэрэгцээ проекцын шинж чанараас харахад хэрчмийг энэ хавтгайтай параллель байвал хавтгайд бүрэн хэмжээгээр проекц хийдэг болохыг мэддэг.

Шинэ проекцын хавтгайг сонгоцгооё П 4 , сегменттэй зэрэгцээ AB ба хавтгайд перпендикуляр П 1 . Шинэ онгоцыг нэвтрүүлснээр бид онгоцны системээс шилждэг П 1 П 2 системд П 1 П 4 , мөн онгоцны шинэ системд сегментийн проекц А 4 IN 4 сегментийн байгалийн үнэ цэнэ байх болно AB .

Даалгавар 2:Нэг цэгээс зайг тодорхойл А сегментээр өгөгдсөн ерөнхий байрлал дахь шулуун шугам руу AB (Зураг 7.2).

Зураг 7.2. Проекцын хавтгайг солих замаар цэгээс ерөнхий шугам хүртэлх зайг тодорхойлох

Эргүүлэх арга

a) Проекцын хавтгайд перпендикуляр тэнхлэгийг тойрон эргэх арга.

Онгоц нь проекцын хавтгайтай параллель цэгүүдийн хөдөлгөөний траекторийн тээвэрлэгч юм. Замын чиглэл нь тойргийн нум бөгөөд түүний төв нь проекцын хавтгайд перпендикуляр тэнхлэг дээр байрладаг. Ерөнхий байрлал дахь шугамын сегментийн байгалийн утгыг тодорхойлох AB (Зураг 7.3), хөндлөн проекцын хавтгайд перпендикуляр, дамжин өнгөрөх эргэлтийн тэнхлэгийг сонгоно. IN 1 .

Сегментийг проекцын урд талын хавтгайтай параллель байхаар эргүүлье (сегментийн хэвтээ проекц нь тэнхлэгтэй параллель байна) x). Үүний зэрэгцээ гол зүйл А 1 нүүх А * 1 , ба цэг IN байр сууриа өөрчлөхгүй. Цэгийн байрлал А * 2 цэгийн хөдөлж буй траекторийн урд талын проекцын огтлолцол дээр байрладаг А (тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам x)-аас татсан холбооны шугам А * 1 . Үр дүнгийн төсөөлөл IN 2 А * 2 сегментийн бодит хэмжээсийг өөрөө тодорхойлдог.

b) Проекцын хавтгайтай параллель тэнхлэгийг тойрон эргэх арга

Энэ аргыг огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлох жишээн дээр авч үзье (Зураг 7.4).

Огтлолцсон шугамын хоёр төсөөллийг авч үзье А Тэгээд В, цэг дээр огтлолцдог TO . Эдгээр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн байгалийн утгыг тодорхойлохын тулд шулуун шугамууд проекцын хавтгайтай параллель болохын тулд ортогональ проекцуудыг хувиргах шаардлагатай.

Түвшингийн шугамын эргэн тойронд эргүүлэх аргыг ашиглацгаая - хэвтээ. Хэвтээ тэнхлэгийн дурын урд проекцийг хийцгээе h 2тэнхлэгтэй зэрэгцээ ТУХАЙ X, энэ нь шугамыг цэгээр огтолж байна А 2 Тэгээд IN 2 . Төлөвлөлтүүдийг тодорхойлсон А 1 Тэгээд IN 1 , хэвтээгийн хэвтээ проекцийг барих h 1.Хэвтээ тэнхлэгийг тойрон эргэлдэх үед бүх цэгүүдийн хөдөлгөөний траектори - хавтгай руу чиглэсэн тойрог. П 1 хэвтээгийн хэвтээ проекцтой перпендикуляр шулуун шугам хэлбэрээр.

Тиймээс цэгийн замнал TO 1 шууд тодорхойлсон TO 1 ТУХАЙ 1 , цэг ТУХАЙ - тойргийн төв - цэгийн траекторууд TO . Энэ тойргийн радиусыг олохын тулд бид гурвалжингийн аргыг ашиглан сегментийн байгалийн хэмжээг олно КО . Шулуун үргэлжлүүлье TO 1 ТУХАЙ 1 тэгэхээр | КО|=|ТУХАЙ 1 TO * 1 | . Цэг TO * 1 цэгтэй тохирч байна TO шулуун үед А Тэгээд В зэрэгцээ хавтгайд хэвтэнэ П 1 ба хэвтээ - эргэлтийн тэнхлэгээр дамжуулан зурсан. Үүнийг цэгээр нь харгалзан үзэж байна TO * 1 болон цэгүүд А 1 Тэгээд IN 1 Одоо зэрэгцээ хавтгайд орших шулуун шугамуудыг зурцгаая П 1 , улмаар өнцөг j- шулуун шугамын хоорондох өнцгийн байгалийн утга А Тэгээд В .

в) Хавтгай-параллель хөдөлгөөний арга

Хавтгай-зэрэгцээ хөдөлгөөний аргыг ашиглан төлөвлөгдсөн объект ба проекцын хавтгайн харьцангуй байрлалыг өөрчлөх нь геометрийн объектын байрлалыг өөрчлөх замаар түүний цэгүүдийн траекторийг зэрэгцээ хавтгайд байрлуулах замаар гүйцэтгэдэг. Хөдөлгөөнт цэгүүдийн траекторын тээвэрлэгч онгоцууд нь аливаа проекцийн хавтгайтай параллель байна (Зураг 7.5). Замын чиглэл нь дурын шугам юм. Геометрийн объектыг проекцын хавтгайтай зэрэгцүүлэн шилжүүлэх үед зургийн проекц нь байрлалаа өөрчилсөн ч анхны байрлал дахь дүрсийн проекцтой тохирч байна.

Хавтгай параллель хөдөлгөөний шинж чанарууд:

1) Хавтгайтай параллель хавтгай дээрх цэгүүдийн аливаа хөдөлгөөнд П 1 , түүний урд талын проекц нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамаар хөдөлдөг X .

2) Зэрэгцээ хавтгайд байгаа цэгийн дур зоргоороо хөдөлсөн тохиолдолд П 2 , түүний хэвтээ проекц нь шулуун зэрэгцээ тэнхлэгийн дагуу хөдөлдөг X.

Хяналтын асуултууд

1 Цогцолбор зургийг хувиргах зорилго нь юу вэ?

2 Нарийн төвөгтэй зургийг хөрвүүлэх аргуудыг нэрлэнэ үү.

3 Зургийг хөрвүүлснээр ямар гол асуудлууд шийдэгддэг вэ?

4 Ортогональ проекцын хувиргалтын мөн чанар юу вэ?

5 Проекцын хавтгайг солих замаар проекцийг хувиргахын мөн чанар юу вэ?

6 Зөвхөн нэг проекцын хавтгайг солиход хангалттай асуудлуудыг нэрлэнэ үү.

7 Хоёр проекцын хавтгайг сольсноор ямар асуудлыг шийдэж болох вэ?

8 Шулуун шугамын сегментийн байгалийн хэмжээг ерөнхий байрлалд хэрхэн тодорхойлох вэ? Шулуун шугамыг ерөнхий байрлалд (дураар) зааж, проекцын хавтгайг солих замаар түүний байгалийн хэмжээг тодорхойлно.

9 Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн тодорхойлох вэ?

10 Эргүүлэх аргыг ашиглан зургийг өөрчлөхийн мөн чанар юу вэ?

11 Ямар шугамыг эргэлтийн тэнхлэг болгон ашигладаг вэ?

12 Биеийн урд талын проекц нь урд талын проекцийг тойрон эргэхэд хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?

13 Хавтгай параллель дамжуулах аргын мөн чанар юу вэ?

14 Хавтгай параллель дамжуулах аргын мөн чанар юу вэ?

Метрийн асуудлууд

Дээрх асуудлуудыг зургийг хөрвүүлэх янз бүрийн аргыг ашиглан шийдэж болно.

Метрийн асуудлын шийдэл нь тэгш өнцөгт проекцын шинж чанарт суурилдаг бөгөөд энэ нь проекцын хавтгай дээрх аливаа геометрийн дүрс нь энэ проекцын хавтгайтай параллель хавтгайд орвол бүрэн хэмжээгээр проекц болно гэсэн үг юм. Хэрэв асуудалд оролцсон геометрийн дүрсүүдийн дор хаяж нэг нь тодорхой байр суурь эзэлдэг бол асуудлыг шийдвэрлэх нь маш хялбар болно. Хэрэв геометрийн дүрсүүдийн аль нэг нь тодорхой байр суурь эзэлдэггүй бол тэдгээрийн аль нэгийг нь энэ байрлалд оруулах боломжийг олгодог тодорхой барилга байгууламжийг гүйцэтгэх шаардлагатай.

Орон зайн геометрийн загваруудын хоорондох зайг тодорхойлох.Шулуун сегментийн уртыг тодорхойлох нь тодорхойлох асуудлыг шийдэх боломжийг танд олгоно цэгээс цэг хүртэлх зай,учир нь энэ зай нь шулуун шугамын сегментээр тодорхойлогддог. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тухайн цэгээс шугам хүртэл татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмждэг. Энэ перпендикулярын сегментийг проекцын шугам руу татсан бол хавтгай дээр бүрэн хэмжээгээр дүрсэлсэн болно. Энэ нь бид энэ шулуун шугамын зургийг өөрчлөх, проекцын хавтгайн шинэ системд проекктив болгох шаардлагатай гэсэн үг юм. Зураг 7.6 нь цэгээс зайг тодорхойлно Мшулуун шугам руу AB:

1) P 2 _|_P 1 -> P 1 _|_P 4 , P 4 || AB, P 1 / P 4||A 1 B 1 ;

2) P 1 P 4 -> P 4 _|_P 5, P 5 _|_ AB, P 4 / P 5 _|_A 4 B 4 ;

3) M 5 K 5 - цэгээс жинхэнэ зай Мшулуун AB руу;

Төсөөлж буй хавтгайд перпендикуляр нь түвшний шугам тул энэ хавтгайн "муухай" проекцийг зураг дээр байрлуулах, өөрөөр хэлбэл зургийг хувиргах нь тохиромжтой.

Зураг 7.7-д перпендикулярын проекцуудыг үзүүлэв MK,сегмент нь цэгээс зайг тодорхойлдог Монгоц руу Q(ABC):

1) P 1, P 2 -> P 1 _|_P 4, P 4 _|_Q, P 1 / P 4 _|_ h(А, 1)~ 0;

2) M 4 K 4 _|_Q 4 - цэгээс алсын зайн жинхэнэ утга М Q онгоц руу;

3) М 1 К 1 _|_К 4 К л буюу || P 1 / P 4;

4) K 2 нь цэгийн өндрийг ашиглан бүтээгдсэн TO, P 4 хавтгайд хэмжсэн.

Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайг тэдгээрийн хоорондох перпендикуляр сегментээр хэмждэг.

Зураг 7.8

Перпендикуляр проекцуудыг байгуулах MKАнхны системийн проекцын хавтгай нь өмнө нь авч үзсэнтэй төстэй юм.

Огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг тодорхойлохын тулд проекцын хавтгайн шинэ системд проекцын шугамын аль нэгийг хийх шаардлагатай.

Шулуун шугамаас шулуунтай параллель хавтгай хүртэлх зайг шулуун шугамын аль ч цэгээс хавтгай руу татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмжинэ. Энэ нь ерөнхий байрлалын хавтгайг проекцын хавтгайн байрлалд хувиргахад хангалттай бөгөөд шулуун шугамын цэгийг авахад хангалттай бөгөөд асуудлын шийдэл нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлоход багасна гэсэн үг юм.

Зэрэгцээ хавтгайнуудын хоорондох зайг тэдгээрийн хоорондох перпендикуляр сегментээр хэмждэг бөгөөд хэрэв онгоцууд проекцын хавтгайн шинэ системд проекцын байрлалыг авбал амархан бүтээгддэг, өөрөөр хэлбэл зургийг хувиргах гурав дахь анхны даалгаврыг дахин ашигладаг.

Хавтгай дүрсүүдийн байгалийн утгыг тодорхойлох.Хавтгай дүрсийн жинхэнэ хэмжээг тодорхойлохдоо проекцын хавтгайг солих замаар зургийг хувиргах замаар хийж болно. Зураг 7.9-д, Атэгш өнцөгтийн нарийн төвөгтэй зургийг өгсөн болно A B C D.Тэгш өнцөгтийн проекцуудын аль нь ч тодорхой байр суурь эзэлдэггүй. Гурав, дөрөв дэх үндсэн асуудлыг дараалан шийдвэрлэх замаар бид асуудлыг шийддэг. Онгоц солих P 2дээр П 4 , Бид тэгш өнцөгтийг тодорхой байрлалд, өөрөөр хэлбэл P 4-ийн проекц хэлбэрээр авчирдаг - Хоёрдахь орлуулалтыг хийснээр, өөрөөр хэлбэл P 4-ийг солино. P 5,тэгш өнцөгтийн жинхэнэ хэмжээг тодорхойлох ABC.

Тэгш өнцөгтийн жинхэнэ хэмжээг тодорхойлох асуудлыг мөн адил тэгш өнцөгтийн хавтгайг харгалзах түвшний хавтгайтай нийлэх хүртэл түвшний шугамын эргэн тойронд эргүүлэх замаар шийдэж болно (Зураг 7.9, b).

Зураг 7.9

Хяналтын асуултууд

1 Ямар бодлогыг хэмжүүр гэж нэрлэдэг вэ?

2 Метрийн даалгавруудад ямар бүлэг даалгавруудыг ялгадаг вэ?

3 Цогцолбор зураг дээр огторгуйн хоёр цэгийн хоорондох зайг хэрхэн тодорхойлох; цэгээс шугам хүртэл; цэгээс онгоц руу?

4 Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох хамгийн богино зайг хэрхэн тодорхойлох; шулуун шугамыг гатлах; шууд онгоц руу?

5 Ерөнхий байрлалд огтлолцсон хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн бодит утгыг тодорхойлохын тулд зураг дээр ямар бүтээц хийх ёстой вэ?

6 Хэрэв тэдгээрийн үүсгэсэн хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэгийг заагаагүй бол ерөнхий байрлал дахь хавтгай хоорондын өнцгийн үнэн утгыг зургаас хэрхэн тодорхойлох вэ?

7 Гадаргууг ерөнхий хавтгайгаар хуваахад дүрсийн жинхэнэ хэмжээг гаргах ямар аргуудыг та мэдэх вэ?

§ 58. Проекцын хавтгайг солих арга

Энэ аргын мөн чанар нь онгоцны аль нэгийг нь ямар ч өнцгөөр байрлуулсан шинэ хавтгайгаар сольсон боловч солигдоогүй проекцын хавтгайд перпендикуляр байрладаг явдал юм. Шинэ хавтгайг сонгохдоо геометрийн дүрс нь үүнтэй холбоотойгоор шийдэгдэж буй асуудлын нөхцлийн шаардлагыг хамгийн сайн хангасан төсөөллийг олж авах байр суурийг эзэлдэг. Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд нэг онгоцыг солиход хангалттай боловч хэрэв энэ шийдэл нь геометрийн дүрсийн шаардлагатай байршлыг өгөхгүй бол та хоёр онгоцыг сольж болно.

Энэ аргын хэрэглээ нь өгөгдсөн элементүүдийн орон зайн байрлал өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа боловч геометрийн дүрсийн шинэ зургийг бүтээх проекцын хавтгайн систем өөрчлөгддөг гэдгээрээ онцлог юм. Нэмэлт проекцын онгоцыг бидний сонирхож буй элементүүдийг тодорхой даалгаварт тохиромжтой байрлалд дүрсэлсэн байдлаар танилцуулсан.

Проекцын хавтгайг солих замаар анхны дөрвөн асуудлын шийдлийг авч үзье.

1. Шинэ проекцын хавтгайтай харьцуулахад ерөнхий байрлал дахь шулуун нь түвшний шугамын байрлалыг авахаар шулуун шугамын зургийг ерөнхий байрлалд хувирга.

Даалгаврыг хангасан шулуун шугамын шинэ проекцийг шинэ проекцын P 4 хавтгай дээр барьж, шулуун шугамтай параллель, проекцын үндсэн хавтгайн аль нэгэнд перпендикуляр байрлуулж болно, өөрөөр хэлбэл хавтгайн системээс. П 1 _|_П 2 систем P 4 руу очно уу _|_ П 1эсвэл P 4 _|_ П 2 .Зураг дээр проекцын шинэ тэнхлэг нь шулуун шугамын гол төсөөллийн аль нэгтэй параллель байх ёстой. Зураг дээр. 108 l шулуун шугамын дүрсийг бүтээв (А, Б) P 1 хавтгайн систем дэх ерөнхий байрлал _|_ П 4, ба P 4 || л.Шинэ холбооны шугамууд A 1 A 4 ба B 1 B 4явуулсан

шинэ тэнхлэгт перпендикуляр -P 1 /P 4 хэвтээ проекцтэй параллель l 1.

Шугамын шинэ төсөөлөл нь жинхэнэ утгыг өгдөг A 4 B 4сегмент AB(§ 11-ийг үзнэ үү) ба проекцын хэвтээ хавтгайд шулуун шугамын налууг тодорхойлох боломжийг олгодог (a = L 1 P 1) ). Проекцын урд талын хавтгайд шулуун шугамын налуугийн өнцөг (b = L 1 P 2)өөр нэмэлт P4_|_P 2 хавтгай дээр шулуун шугамын дүрсийг бүтээх замаар тодорхойлж болно (Зураг 109).

2. Шулуун түвшний зургийг шинэ проекцын хавтгайтай харьцуулахад проекцын байрлалыг авахаар өөрчил.

Шулуун шугамын дүрс нь шинэ проекцын хавтгай дээрх цэг байхын тулд (§ 10-ыг үзнэ үү) шинэ проекцын хавтгайг энэ түвшний шулуун шугамд перпендикуляр байрлуулах ёстой. Хэвтээ шугам нь P 4 _|_ P 1 хавтгай дээрх цэгтэй байх болно. (Зураг 110), урд тал е- P 4 _|_ P 2 дээр

Хэрэв та ерөнхий байрлал дахь шугамын проекцийг нэг цэг хүртэл доройтуулах шаардлагатай бол зургийг хувиргахын тулд проекцын хавтгайг хоёр дараалан солих шаардлагатай болно. Зураг дээр. 111 анхны зураг шулуун л (А,Б)дараах байдлаар хувиргана: эхлээд шулуун шугамтай параллель байрлах P 4 _|_ P 2 хавтгай дээр шулуун шугамын дүрсийг бүтээв. л. Хавтгай системд P 2 _|_ P 4 , шулуун шугам нь шугамын байрлалыг авсан лтүвшин (A 2 A 4 _|_P 2 /P 1;

P 2 / P 4|| л 2). Дараа нь P 2 _|_ P 4 системээс системд шилжилт хийсэн

П 4 _|_П 5, хоёр дахь шинэ проекцын P 5 хавтгай нь шулуун шугамд перпендикуляр байна л. Онооноос хойш АТэгээд INшулуун шугамууд нь P 4 хавтгайгаас ижил зайд байрладаг бол P 5 хавтгай дээр бид шулуун шугамын дүрсийг цэг хэлбэрээр олж авдаг. (A 5 = B 5 = л 5).

3. Ерөнхий байрлалын хавтгайн зургийг шинэ хавтгайтай харьцуулахад проекцын байрлал авахаар өөрчил.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд шинэ проекцын хавтгай нь энэ ерөнхий хавтгайд перпендикуляр байх ба проекцын үндсэн хавтгайн аль нэгэнд перпендикуляр байх ёстой. Шинэ проекцын хавтгайд ортогональ проекцын чиглэл нь ерөнхий байрлалын өгөгдсөн хавтгайн харгалзах түвшний шугамын чиглэлтэй давхцах ёстой гэдгийг харгалзан үзвэл үүнийг хийж болно. Дараа нь шинэ проекцын хавтгай дээрх энэ түвшний бүх шугамыг цэгүүдээр дүрслэх бөгөөд энэ нь онгоцны шууд проекцийг "муухай" болгоно (§ 47-г үзнэ үү).

Зураг дээр. 112-т 0-ийн шинэ дүрсийг бүтээхийг өгсөн болно (ABC)онгоцны системд П 4 _|_П 1 . Энэ зорилгоор 0 хавтгайд хэвтээ шугамыг барьсан h(А, 1), шинэ проекцын P 4 хавтгай нь хэвтээ h перпендикуляр байрладаг. Гурав дахь анхны асуудлын график шийдэл нь шинэ проекцын тэнхлэгт налуу өнцөг нь шулуун шугам хэлбэрээр хавтгайн дүрсийг бүтээхэд хүргэдэг. P 1 /P 4, онгоцны налуу өнцгийг тодорхойлно Q(ABC) хүртэлхэвтээ проекцын хавтгай (a = Q ^ P 1).

P 2 _|_P 4 системд ерөнхий байрлалын хавтгайн зургийг бүтээсний дараа (хавтгайны урд талд P 4-ийг перпендикуляр байрлуулна)

энэ хавтгайн проекцын урд талын хавтгайд налуу P өнцгийг тодорхойлох боломжтой.

4. Төсөөлж буй хавтгайн зургийг шинэ хавтгайтай харьцуулахад түвшний хавтгайн байрлалыг авахаар өөрчил.

Энэ асуудлыг шийдэх нь хавтгай дүрсийн хэмжээг тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

Шинэ проекцын хавтгай нь өгөгдсөн хавтгайтай зэрэгцээ байрлалтай байх ёстой. Хэрэв онгоцны анхны байрлал урд талын проекцтэй байсан бол P 2 _|_P 4 системд шинэ зураг, хэрэв хэвтээ проекц бол P 1 _|_P 4 системд бүтээгдсэн болно. . Төслийн шинэ тэнхлэг нь проекцын хавтгайн доройтсон проекцтэй зэрэгцээ байрлана (§ 47-г үзнэ үү). Зураг дээр. 113 шинэ проекц барьсан A 4 B 4 C 4хэвтээ проекцын хавтгай Сум (ABC) P 4 _|_P 1 хавтгай дээр

Хэрэв анхны байрлалд онгоц нь ерөнхий байрлалыг эзэлдэг бөгөөд түүний зургийг түвшний хавтгай хэлбэрээр авах шаардлагатай бол тэд проекцын хавтгайг давхар сольж, 3-р асуудлыг дараалан шийддэг; дараа нь даалгавар 4. Эхний орлуулалтын үед онгоц нь проекцын хавтгай болж, хоёр дахь нь түвшний хавтгай болж хувирдаг (Зураг 114).

А онгоцонд (DEF)хэвтээ шугам татсан h(Д- 1). Эхний тэнхлэгийг P 1 / P 4 _|_ хэвтээ тэнхлэгтэй харьцуулан зурсан h 1.Хоёр дахь шинэ тэнхлэг

проекцууд нь онгоцны доройтсон проекцтэй параллель байх ба шинэ холболтын шугамууд нь онгоцны доройтсон проекцтой перпендикуляр байна. P 5 хавтгай дээрх цэгүүдийн проекцийг бүтээх зайг хавтгай дээр хэмжих ёстой P 1тэнхлэгээс P 1 / P 2мөн шинэ тэнхлэгээс харилцаа холбооны шинэ шугамын дагуу ажлаас халах P 4 / P 5. Төсөл D 5 E 5 F 5гурвалжин DEFгурвалжинтай тохирч байна ABC.

ХАМТОнгоцыг солих аргыг ашигласнаар та бие даасан болон тусдаа асуудлын хэсгүүд, тэр дундаа олон тооны график шийдлүүдийг багтаасан бусад олон асуудлыг шийдэж чадна.

Проекцын хавтгайг солих аргын мөн чанар нь үндсэндээ P системийн проекцын хавтгайнуудын нэг юм! /P 2 (эсвэл хоёулаа дараалсан) нь үлдсэн хавтгайд перпендикуляр шинэ хавтгайгаар солигдоно. Заасан геометрийн элементүүдийн орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй. P 1 / P 4 (P 2 / P 5) проекцын хавтгайн шинэ систем бий болсон.

Зураг 75-д P 4 ба P 5 хавтгай дээрх цэгийн проекцийг үзүүлэв. P 4 хавтгай нь P 1 хавтгайд перпендикуляр байна.

[AA 1 ]=[A 2 A x ]=[A 4 A x1 ],ᴛ.ᴇ.

шинэ урд талын проекцоос шинэ тэнхлэг хүртэлх зай нь тухайн цэгийн хуучин урд талын проекцоос хуучин тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Зураг 75 Зураг 76

Шинэ системд диаграммыг байгуулахдаа А 4 цэгийн шинэ проекц ба А 1 цэгийн хуучин проекц (эсвэл А 5 ба А 2) шинэ тэнхлэгтэй ижил перпендикуляр дээр байрлана.

Жишээ 1. АВ сегментийн урт ба түүний P 1 ба P 2 хавтгайд налуу өнцгийг тодорхойлно.

Асуудлын шийдлийг Зураг 76-д үзүүлэв.

X 1 нь A 1 B 1-тэй параллель байх тул P 4 хавтгайг P 1-тэй перпендикуляр ба AB сегменттэй параллель оруулав. A 1 A 4 ба B 1 B 4 нь шинэ X 1 тэнхлэгт перпендикуляр нэг холболтын шугам дээр байна. Сегментүүд A 2 A x = A 4 A x1; B 2 V x = B 4 V x1. Сегмент [A 4 B 4 ] = [AB] – сегментийн урт.

Налуу өнцгийг зураг дээр үзүүлэв. a - налуугийн өнцөг P 1; b- налуугийн өнцөг P 2.

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр проекцын онгоцыг ээлжлэн солих шаардлагатай.

Жишээ 2. ABC гурвалжны жинхэнэ хэмжээг тодорхойл.

Асуудлыг шийдвэрлэх дарааллыг Зураг 77-д үзүүлэв.

Зураг 77

1) P 4 ┴ P 1 онгоцыг нэвтрүүлсэн; P 2 /P 1 P 4 /P 1

P 4 хавтгай нь гурвалжинд зурсан хэвтээ шугамд перпендикуляр байдаг шиг ABC гурвалжны хавтгайд перпендикуляр байна. P 4 хавтгай дээр A 4 B 4 C 4 гурвалжны проекц нь шулуун шугам, өнцөг нь ABC хавтгайн P 1 проекцуудын хэвтээ хавтгайд налуугийн өнцөг юм.

[A 2 A x ]=[A 4 A x1 ]; [V 2 V x ]=[V 4 V x1 ]; [C 2 C x ] = [C 4 C x1 ].

2) P 5 ┴ P 4 онгоцыг танилцуулав. P 4 /P 1 P 5 /P 4

Учир нь ABC гурвалжны хавтгай Р 5 хавтгайтай параллель болсон X 2 нь A 4 B 4 C 4-тэй параллель байна.

[A 1 A x1 ]=[A 5 A x2 ]; [V 1 V x1 ]=[V 5 V x2 ] ; [C 1 C x1 ]=[C 5 C x2 ]

Гурвалжин A 5 B 5 C 5 - байгалийн хэмжээтэй гурвалжин a ABC.

Жишээ 3. ABC гурвалжингаар тодорхойлсон ерөнхий хавтгайтай ME шулуун шугамын огтлолцох цэгийг тодорхойл.

Асуудлыг шийдвэрлэх дарааллыг Зураг 78-д үзүүлэв.

Зураг 78

BC шулуун шугам нь хэвтээ тул P 4 туслах хавтгайг P 1-д перпендикуляр татсан бөгөөд шинэ тэнхлэг X 1 нь B 1 C 1 хэвтээ шугамын хэвтээ проекцтой перпендикуляр байх болно. ABC хавтгай нь P 4 хавтгайтай харьцуулахад проекц болж, түүн дээр A 4 B 4 C 4 шулуун шугам руу чиглэнэ. Ийм учраас ME шулуун шугамын ABC хавтгайтай огтлолцохыг хүссэн цэгийн K 4 цэгийн проекц нь A 4 B 4 C 4 проекц эсвэл түүний үргэлжлэл дээр байх болно. P 1 / P 4 системээс анхны P 1 / P 2 систем рүү урвуу шилжилт нь ME шулуун шугамын ABC хавтгайтай огтлолцох цэгийн K 1 ба K 2 проекцийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Шугаман ба хавтгайн харьцангуй харагдах байдлыг өрсөлдөх цэгийн аргаар тодорхойлно.