Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.

Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5).

Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

ь объекту проецирования новые, частные по отношению к ним, положения.

Поверхности вращения

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.

Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.

Развертки поверхностей вращения

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

Приближенные развертки

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.

При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

Конус вращения

На виде сверху конус изображается кругом, являющимся одновременно горизонтальной проекцией основания конуса и его боковой поверхности (рис. 26). Центр круга – горизонтальная проекция вершины конуса. Главный вид и вид слева – равнобедренные треугольники.

Пусть в конусе имеется призматическое отверстие и точка А (А 2) лежит на линии пересечения конуса с отверстием.

Конус можно рассматривать как линейчатую поверхность, на которой точки могут быть построены с помощью прямолинейных образующих. Проекция А 1 точки А построена с помощью проекций l2 и l1 образующей l.

Все проекции сферы – окружности. Диаметр их равен диаметру сферы. На каждом изображении проводят центровые линии.

На рис. 27 представлен чертёж сферы, усечённой двумя плоскостями, и показано построение точки А (А 1, А 2, А 3) на поверхности сферы.

Рис. 26. Конус вращения

Рис. 27. Сфера

Если рассматривать конус как поверхность вращения, то для решения задачи на построение точки интересно объединить его со сферой и тором.

В разновидностях аксонометрических проекций отсутствуют перспективные искажения, вследствие чего изображение получается условным и простым. Форму предмета можно строить точно по размерам (если нужно) и изображать ее «не как вижу, а как надо» с пониманием объективной сущности предмета. В этом заключается особенность технического рисунка и простота его выполнения, позволяющие сравнительно быстро приобрести необходимые навыки.

Развертка поверхности цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов. Одну сторону прямоугольника берут равной высоте цилиндра, другую - длине окружности основания.

К прямоугольнику, пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Развертка поверхности конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса.

Построение выполняется следующим образом:
1. Проводят осевую линию и из точки S, взятой на ней, описывают радиусом, равным длине S<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. К полученной фигуре пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса. Центр круга должен лежать на осевой линии так, чтобы круг касался дуги развертки боковой поверхности.

Длину окружности при построении p;i шерток цилиндра и мщусм можно определить по формуле С nD или графически. Для графического построения делят окружность на несколько частей, а затем откладывают их на прямой (для цилиндра) или на дуге окружности (для конуса).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Лекция 6

Для упрощения решения метрических, а также некоторых позиционных задач могут применяться методы, позволяющие переходить от задания фигур общих положений к частным. Эти методы основываются на двух принципах:

1) замещение системы плоскостей проекций на новую систему плоскостей, в которой неподвижный геометрический объект занимает какое-либо частное положение (способ замены плоскостей проекций );

2) перемещение геометрического объекта в пространстве таким образом, чтобы он занял какое-либо частное положение в неподвижной системе плоскостей проекций (способ вращения ).

В зависимости от расположения оси в пространстве, вокруг которой вращается геометрический объект, различают следующие виды способа вращения:

1) вращение вокруг линии уровня;

2) вращение вокруг проецирующей прямой;

3) плоско-параллельное перемещение.

Эти способы преобразования включают в себя четыре основные задачи начертательной геометрии :

1. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы прямая общего положения стала линией уровня.

2. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы линия уровня стала проецирующей прямой.

3. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью уровня.

4. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Сущность этого метода заключается в том, что проецируемый объект не изменяет своего положения в пространстве, а заменяется система плоскостей проекций. Может быть заменена одна, две и более плоскостей. Замена производится до тех пор, пока геометрический объект не займет частное положение относительно новой плоскости проекций. При этом новая плоскость должна быть перпендикулярна оставшейся «старой» плоскости проекций.

Возьмем точку А , расположенную в ортогональной системе плоскостей проекций , и повернем вокруг нее горизонтальную плоскость проекций P 1 в положение , получив таким образом новую ортогональную систему плоскостей проекций . При этом должно соблюдаться следующее условие:

Расстояние от точки до «старой» плоскости проекций в новой системе плоскостей проекций должно остаться неизменным.

1 основная задача. Преобразованием прямой общего положения в прямую уровня можно определить:

Натуральную длину отрезка;

Углы наклона прямой к плоскостям проекций.

2 основная задача. С помощью преобразования прямой уровня в проецирующую прямую можно найти:

Расстояние между точкой и прямой;

Расстояние между параллельными или скрещивающимися прямыми и т.п.

3 основная задача. Преобразованием плоскости общего положения в проецирующую плоскость можно определить:

Расстояние от точки до плоскости или расстояние между параллельными плоскостями;

Углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

4 основная задача. Преобразованием проецирующей плоскости в плоскость уровня можно найти:

Натуральную величину плоской фигуры;

Угол между пересекающимися прямыми;

Центр описанной или вписанной окружности;

Построить биссектрису угла и т.п.

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П 1 и П 2 новыми плоскостями П 4 (рисунок 7.1). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рисунок 7.2). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рисунок 7.1).

Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций

Способ вращения

а) Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельных плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рисунок 7.3), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В 1 .

Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x ). При этом точка А 1 переместиться в А * 1 , а точка В не изменит своего положения. Положение точки А * 2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А * 1 . Полученная проекция В 2 А * 2 определяет действительные размеры самого отрезка.

б) Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рисунок 7.4).

Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в , которые пересекаются в точке К . Для того, чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций.

Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h 2 параллельно оси О х , которая пересекает прямые в точках А 2 и В 2 . Определив проекции А 1 и В 1 , построим горизонтальную проекцию горизонтали h 1. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П 1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Таким образом, траектория движения точки К 1 определена прямой К 1 О 1 , точка О - центр окружности - траектории движения точки К . Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО . Продолжим прямую К 1 О 1 так чтобы |КО |=|О 1 К * 1 | . Точка К * 1 соответствует точке К , когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П 1 и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К * 1 и точки А 1 и В 1 проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П 1 , а следовательно и угол j - натуральная величина угла между прямыми а и в .

в) Способ плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 7.5). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1) При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П 1 , её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х .

2) В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П 2 , её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х .

Контрольные вопросы

1 С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

2 Назовите способы преобразования комплексного чертежа.

3 Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4 В чем сущность преобразования ортогональных проекций?

5 В чем сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций?

6 Назовите задачи, для решения которых достаточно заменить только одну плоскость проекций.

7 Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?

8 Каким образом можно определить натуральную величину отрезка прямой общего положения? Задайте прямую общего положения (произвольно) определите ее натуральную величину способом замены плоскостей проекций..

9 Как определить расстояние от точки до прямой?

10 В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

11 Какие линии используются в качестве осей вращения?

12 Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

13 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

14 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

Метрические задачи

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа.

В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

Определение расстояний между геометрическими моделями пространства. Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рисунке 7.6 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П 2 _|_П 1 -> П 1 _|_П 4 , П 4 ||АВ, П 1 /П 4 ||A 1 B 1 ;

2) П 1 П 4 -> П 4 _|_П 5 , П 5 _|_AB, П 4 /П 5 _|_A 4 B 4 ;

3) M 5 K 5 - истинное расстояние от точки М до прямой AB;

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж.

На рисунке 7.7 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

1) П 1 ,П 2 ->П 1 _|_П 4 , П 4 _|_Q, П 1 /П 4 _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М 4 K 4 _|_Q 4 - истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3) M 1 K 1 _|_K 4 K l или || П 1 / П 4 ;

4) K 2 построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П 4 .

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.

Рисунок 7.8

Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

Определение натуральных величин плоских фигур. Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рисунке 7.9, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П 2 на П 4 , приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П 4 - Выполнив вторую замену, то есть замену П 4 на П 5 , определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рисунок 7.9, б).

Рисунок 7.9

Контрольные вопросы

1 Какие задачи называются метрическими?

2 Какие группы задач выделяются в метрических задачах?

3 Как на комплексном чертеже определить расстояние между двумя точками пространства; от точки до прямой; от точки до плоскости?

4 Как определить кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; от прямой до плоскости?

5 Какие построения необходимо выполнить на чертеже, чтобы определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми общего положения?

6 Как по чертежу определить истинную величину угла между плоскостями общего положения, если ребро образованного ими двугранного угла не задано?

7 Какие вы знаете способы построения истинной величины фигуры сечения поверхности плоскостью общего положения?

§ 58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П 4 , расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П 1 _|_П 2 перейти к системе П 4 _|_ П 1 или П 4 _|_ П 2 . На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П 1 _|_ П 4 , причем П 4 || l. Новые линии связи A 1 A 4 и В 1 В 4 проведены

перпендикулярно новой оси -П 1 /П 4 параллельной горизонтальной проекции l 1 .

Новая проекция прямой дает истинную величину А 4 В 4 отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L 1 П 1 ). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L 1 П 2) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П 2 (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П 4 _|_ П 1 . (рис. 110), а фронталь f - на П 4 _|_ П 2

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П 4 _|_ П 2 , расположенной параллельно самой прямой l . В системе плоскостей П 2 _|_ П 4 , прямая заняла положение линии l уровня (А 2 А 4 _|_П 2 /П 1 ;

П 2 /П 4 || l 2). Затем от системы П 2 _|_ П 4 осуществлен переход в систему

П 4 _|_П 5 , причем вторая новая плоскость проекций П 5 перпендикулярна самой прямой l . Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П 4 , то на плоскости П 5 получаем изображение прямой в виде точки (А 5 = B 5 = l 5).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П 4 _|_П 1 . Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П 4 расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П 1 /П 4 , определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П 1).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П 2 _|_П 4 , (П 4 расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П 2 _|_П 4 , а если горизонтально проецирующим, то в системе П 1 _|_П 4 . Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А 4 В 4 С 4 горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П 4 _|_П 1

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй - плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D - 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П 1 / П 4 _|_h 1 . Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи - перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П 5 нужно замерить на плоскости П 1 от оси П 1 / П 2 и откладывать по новым линиям связи от новой оси П 4 /П 5 . Проекция D 5 E 5 F 5 треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Сущность метода замены плоскостей проекций состоит по сути в том, что одна из плоскостей проекций системы П! /П 2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется. Образуется новая система плоскостей проекций П 1 /П 4 (П 2 /П 5).

На рисунке 75 показано проецирование точки на плоскости П 4 и П 5 . Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 .

[АА 1 ]=[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ],ᴛ.ᴇ.

расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от старой фронтальной проекции точки до старой оси.

Рисунок 75 Рисунок 76

При построении эпюра в новой системе, новая проекция точки А 4 и старая проекция точки А 1 (или А 5 и А 2) расположены на одном перпендикуляре к новой оси.

Пример 1. Определить длину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости П 1 и П 2.

Решение задачи показано на рисунке 76.

Введена плоскость П 4 перпендикулярно П 1 и параллельно отрезку АВ, т. к. Х 1 параллелœен А 1 В 1 . А 1 А 4 и В 1 В 4 находятся на одной линии связи перпендикулярной новой оси Х 1 . Отрезки А 2 А х =А 4 А х1 ; В 2 В х =В 4 В х1 . Отрезок[А 4 В 4 ] =[АВ] –длина отрезка.

Углы наклона показаны на чертеже. a - угол наклона к П 1; b- угол наклона к П 2.

Для решения некоторых задач требуется вводить поочередно замены двух плоскостей проекций.

Пример 2. Определить истинную величину треугольника АВС.

Последовательность решения задачи на рисунке 77.

Рисунок 77

1) Введена плоскость П 4 ┴ П 1 ; П 2 /П 1 П 4 /П 1

Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости треугольника АВС, так, как она перпендикулярна горизонтали, проведенной в треугольнике. На плоскости П 4 проекция треугольника А 4 В 4 С 4 - прямая линия, угол - угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П 1 .

[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ]; [В 2 В х ]=[В 4 В х1 ]; [С 2 С х ]=[С 4 С х1 ].

2) Введена плоскость П 5 ┴ П 4 . П 4 /П 1 П 5 /П 4

Плоскость треугольника АВС стала параллельна плоскости П 5 т.к. Х 2 параллельна А 4 В 4 С 4 .

[А 1 А х1 ]=[А 5 А х2 ]; [В 1 В х1 ]=[В 5 В х2 ] ; [С 1 С х1 ]=[С 5 С х2 ]

Треугольник А 5 В 5 С 5 -натуральная величина треугольник а АВС.

Пример 3. Определить точку пересечения прямой МЕ с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС.

Последовательность решения задачи на рисунке 78.

Рисунок 78

Так как прямая ВС является горизонталью, то вспомогательная плоскость П 4 проводится перпендикулярно П 1 , а новая ось Х 1 будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали В 1 С 1 . Плоскость АВС станет проецирующей относительно плоскости П 4 и проецируется на нее в прямую линию А 4 В 4 С 4 . По этой причине проекция точки К 4 искомой точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС будет находиться на проекции А 4 В 4 С 4 или ее продолжении. Обратный переход от системы П 1 /П 4 к исходной системе П 1 /П 2 позволяет определить проекции К 1 и К 2 точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС. Относительная видимость прямой и плоскости определяется методом конкурирующих точек.