Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi

10-sonli umumta’lim maktabi

alohida fanlarni chuqur o'rganish bilan

Loyiha tugallandi:

Pavlov Roman

10b sinf o'quvchisi

Nazoratchi:

matematika o'qituvchisi

Boldireva N.A

Yelets, 2012 yil

1.Kirish.

3. Trigonometriya olami.

· Fizikada trigonometriya.

· Planimetriyada trigonometriya.

· San'at va arxitekturada trigonometriya.

· Tibbiyot va biologiyada trigonometriya.

3.2 "Kichik qiziqarli" trigonometrik funktsiyalarni asl egri chiziqlarga aylantirishning grafik tasvirlari ("Funktsiyalar va grafiklar" kompyuter dasturidan foydalangan holda).

· Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar (Rozetlar).

· Dekart koordinatalaridagi egri chiziqlar (Lissajous egri chiziqlari).

· Matematik bezaklar.

4. Xulosa.

5. Adabiyotlar ro'yxati.

Loyihaning maqsadi - algebra kursida "Trigonometriya" mavzusini o'rganishga qiziqishni rivojlantirish va o'rganilayotgan materialning amaliy qiymati prizmasi orqali tahlil qilishni boshlash; trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan grafik tasvirlarni kengaytirish; fizika va biologiya kabi fanlarda trigonometriyadan foydalanish. U tibbiyotda ham muhim rol o'ynaydi va eng qiziq narsa, hatto musiqa va arxitektura ham busiz qila olmaydi.

O'rganish ob'ekti - trigonometriya

O'rganish mavzusi - trigonometriyaning amaliy yo'nalishi; trigonometrik formulalar yordamida ayrim funksiyalarning grafiklari.

Tadqiqot maqsadlari:

1. Trigonometriyaning paydo bo'lish va rivojlanish tarixini ko'rib chiqing.

2. Aniq misollar yordamida trigonometriyaning turli fanlarda amaliy qo‘llanilishini ko‘rsating.

3. Aniq misollar yordamida trigonometrik funktsiyalardan foydalanish imkoniyatlarini ochib bering, bu "kichik qiziqarli" funktsiyalarni grafiklari juda original ko'rinishga ega bo'lgan funktsiyalarga aylantirish imkonini beradi.

Gipoteza - farazlar: Trigonometriyaning tashqi dunyo bilan aloqasi, ko'plab amaliy muammolarni hal qilishda trigonometriyaning ahamiyati va trigonometrik funktsiyalarning grafik imkoniyatlari maktab o'quvchilarining bilimlarini "materiallashtirish" imkonini beradi. Bu trigonometriyani o'rganish orqali olingan bilimlarning hayotiy zarurligini yaxshiroq tushunish imkonini beradi va ushbu mavzuni o'rganishga qiziqishni oshiradi.

Tadqiqot usullari - ushbu mavzu bo'yicha matematik adabiyotlarni tahlil qilish; ushbu mavzu bo'yicha aniq amaliy vazifalarni tanlash; kompyuter dasturi asosida kompyuter modellashtirish. Ochiq matematika "Funktsiyalar va grafiklar" (Fizikon).

1.Kirish

“Bir narsa aniqligicha qolmoqda: dunyo tuzilgan

qo'rqinchli va chiroyli."

N. Rubtsov

Trigonometriya uchburchaklarning burchaklari va yon uzunliklari oʻrtasidagi bogʻliqliklarni hamda trigonometrik funksiyalarning algebraik identifikatorlarini oʻrganuvchi matematika boʻlimidir. Tasavvur qilish qiyin, lekin biz bu fanga nafaqat matematika darslarida, balki darsimizda ham duch kelamiz. Kundalik hayot. Siz bunga shubha qilmagan bo'lishingiz mumkin, lekin trigonometriya fizika, biologiya kabi fanlarda uchraydi, u tibbiyotda muhim rol o'ynaydi va eng qizig'i, hatto musiqa va arxitektura ham busiz qila olmaydi. Matematikani o’rganishda olingan nazariy bilimlarni amaliyotda qo’llash ko’nikmalarini shakllantirishda amaliy mazmundagi masalalar katta ahamiyatga ega. Matematika fanining har bir talabasi olingan bilimlarning qayerda va qayerda qo‘llanilishi bilan qiziqadi. Ushbu ish ushbu savolga javob beradi.

2. Trigonometriyaning rivojlanish tarixi.

So'z trigonometriya Ikki yunoncha soʻzdan tuzilgan: trifion (trigonon-uchburchak) va va métin (metrein — oʻlchash) soʻzma-soʻz tarjima qilingan maʼnoni anglatadi. uchburchaklarni o'lchash.

Aynan shu vazifa - uchburchaklarni o'lchash yoki ular hozir aytganidek, uchburchaklarni echish, ya'ni uchburchakning barcha tomonlari va burchaklarini uning uchta ma'lum elementi (tomon va ikki burchak, ikki tomon va burchak yoki uch tomon) dan aniqlash. - qadim zamonlardan beri trigonometriyaning amaliy qo'llanilishining asosi bo'lib kelgan.

Boshqa har qanday fan singari, trigonometriya ham aniq amaliy muammolarni hal qilish jarayonida inson amaliyotidan kelib chiqqan. Trigonometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlari astronomiyaning rivojlanishi bilan chambarchas bog'liq. Astronomiya va chambarchas bog'liq trigonometriyaning rivojlanishiga navigatsiyani rivojlantirish ehtiyojlari katta ta'sir ko'rsatdi, bu esa osmon jismlarining joylashuvi bo'yicha ochiq dengizdagi kemaning yo'nalishini to'g'ri aniqlash qobiliyatini talab qildi. Trigonometriyaning rivojlanishida kompilyatsiya qilish zarurati muhim rol o'ynadi geografik xaritalar va er yuzidagi katta masofalarni to'g'ri aniqlash zarurati bilan chambarchas bog'liq.

Qadimgi yunon astronomining asarlari trigonometriyaning paydo bo'lishi davrida fundamental ahamiyatga ega edi. Gipparx(miloddan avvalgi 2-asr oʻrtalari). Trigonometriya fan sifatida, so'zning zamonaviy ma'nosida, nafaqat Gipparx, balki antik davrning boshqa olimlari tomonidan ham topilmagan, chunki ular hali ham burchaklarning funktsiyalari haqida hech qanday tasavvurga ega bo'lmaganlar va umuman olganda, bu savolni ham ko'tarmaganlar. uchburchakning burchaklari va tomonlari orasidagi munosabat. Lekin mohiyatan, ular o'zlariga ma'lum bo'lgan elementar geometriya vositalaridan foydalanib, trigonometriya bilan bog'liq muammolarni hal qilishdi. Bunday holda, kerakli natijalarni olishning asosiy vositasi muntazam uch, to'rt, besh va o'nburchak tomonlari va chegaralangan doira radiusi o'rtasidagi ma'lum munosabatlarga asoslangan aylana akkordlar uzunligini hisoblash qobiliyati edi. .

Gipparx akkordlarning birinchi jadvallarini, ya'ni doimiy radiusli doiradagi turli markaziy burchaklar uchun akkord uzunligini ifodalovchi jadvallarni tuzdi. Bular asosan yarim markaziy burchakning qo'sh sinuslari jadvallari edi. Biroq, Gipparxning asl jadvallari (u yozgan deyarli hamma narsa kabi) bizgacha etib bormagan va biz ular haqida asosan mashhur astronomning "Buyuk qurilish" yoki (arabcha tarjimasi) "Almagest" asaridan tasavvur qilishimiz mumkin. Klavdiy Ptolemey, milodiy 2-asr oʻrtalarida yashagan. e.

Ptolemey aylanani 360 gradusga, diametrini esa 120 qismga ajratdi. U radiusni 60 qism (60¢¢) deb hisobladi. U har bir qismni 60¢ ga, har bir daqiqani 60¢¢ ga, soniyani 60 ¢¢ ga (60¢¢¢) va hokazolarga ajratdi, ko'rsatilgan bo'linishdan foydalanib, Ptolemey muntazam ravishda yozilgan olti burchakli yoki yoyga cho'zilgan akkordning tomonini ifodaladi. radiusning 60 qismi (60h) ko'rinishida 60 ° ga teng va chizilgan kvadrat yoki 90 ° akkordning tomoni 84h51¢10² soniga tenglashtirildi 120 ° akkord - chizilgan teng tomonli uchburchakning tomoni -. u 103h55¢23² va boshqalarni ifodaladi. Gipotenuzali to'g'ri burchakli uchburchak uchun aylananing diametriga teng, u Pifagor teoremasi asosida yozdi: (akkord a)2+(akkord|180-a| )2=(diametri)2, bu zamonaviy sin2a+cos2a=1 formulasiga mos keladi.

Almagest har yarim daraja 0 dan 180 ° gacha bo'lgan akkordlar jadvalini o'z ichiga oladi, bizning zamonaviy nuqtai nazarimizdan har chorakda 0 ° dan 90 ° gacha bo'lgan burchaklar uchun sinuslar jadvalini ifodalaydi.

Yunonlardagi barcha trigonometrik hisoblar Gipparxga ma'lum bo'lgan Ptolemey teoremasiga asoslangan: "Aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning diagonallari ustiga qurilgan to'rtburchaklar qarama-qarshi tomonlarga qurilgan to'rtburchaklar yig'indisiga teng" (ya'ni, diagonallarning mahsuloti qarama-qarshi tomonlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng). Ushbu teoremadan foydalanib, yunonlar (Pifagor teoremasidan foydalangan holda) bu burchaklarning yig'indisining akkordasini (yoki farq akkordasini) yoki berilgan yarim burchakning akkordasini ikkita burchak akkordlaridan hisoblashga muvaffaq bo'lishdi, ya'ni ular ikkita burchak yoki yarim burchakning yig'indisi (yoki farqi) sinusi uchun formulalar yordamida hozir olingan natijalarni olishimiz mumkin.

Trigonometriyaning rivojlanishidagi yangi qadamlar xalqlarning matematik madaniyatining rivojlanishi bilan bog'liq Hindiston, Markaziy Osiyo va Yevropa (V-XII).

V asrdan 12-asrgacha bo'lgan davrda hindular oldinga muhim qadam tashladilar, ular yunonlardan farqli o'laroq, hisob-kitoblarda tegishli markaziy burchakning butun MM¢ akkordini (chizmaga qarang) ko'rib chiqishni va foydalanishni boshladilar. faqat uning yarmi MR, ya'ni biz hozir markaziy burchakning yarmining sinus chizig'i deb ataymiz.

Sinus bilan bir qatorda hindular kosinusni trigonometriyaga kiritdilar, aniqrog'i, ular o'z hisoblarida kosinus chizig'idan foydalana boshladilar; (Kosinus atamasining o'zi ancha keyinroq Evropa olimlari asarlarida birinchi marta 16-asrning oxirida "to'ldiruvchining sinusi" deb ataladigan narsadan, ya'ni berilgan burchakni to'ldiruvchi burchakning sinusidan paydo bo'lgan. 90° "Komplement sinus" yoki (lotin tilida) sinus complementi sinus ko yoki ko-sinus deb qisqartirila boshlandi.

Shuningdek, ular cosa=sin(90°-a) va sin2a+cos2a=r2 munosabatlarini, yig‘indining sinusi va ikki burchak ayirmasi formulalarini ham bilishgan.

Trigonometriya rivojlanishining keyingi bosqichi mamlakatlar bilan bog'liq

Markaziy Osiyo, Yaqin Sharq, Zakavkaz(VII-XV asr)

Astronomiya va geografiya bilan chambarchas bog‘liq holda rivojlanib, O‘rta Osiyo matematikasi yaqqol «hisoblash xarakteri»ga ega bo‘lib, o‘lchov geometriyasi va trigonometriyaning amaliy masalalarini yechishga qaratilgan bo‘lib, trigonometriya esa asosan O‘rta Osiyo olimlarining ishlarida maxsus matematik fan bo‘lib shakllangan. Ular erishgan eng muhim muvaffaqiyatlar qatorida, birinchi navbatda, barcha oltita trigonometrik chiziqlarning kiritilishini ta'kidlashimiz kerak: sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant va kosekant, ulardan faqat birinchi ikkitasi yunonlar va hindularga ma'lum edi.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> j= uchun ma'lum uzunlikdagi (a=12) qutbning =a×ctgj 1°,2°,3°……

Abu-l-Vafo 10-asrda (940-998) yashagan Xurosondan shunga oʻxshash “tangens jadvali”ni tuzgan, yaʼni maʼlum uzunlikdagi gorizontal qutb tomonidan quyilgan soyaning uzunligi b=a×=a×tgj hisoblangan. (a=60) vertikal devorda (chizmaga qarang).

Shuni ta'kidlash kerakki, "tangens" (so'zma-so'z "tegish" deb tarjima qilingan) va "kotangent" atamalarining o'zi lotin tilidan kelib chiqqan va Evropada ancha keyinroq (XVI-XVII asrlar) paydo bo'lgan. Markaziy Osiyo olimlari tegishli chiziqlarni “soya” deb atashgan: kotangent – ​​“birinchi soya”, tangens – “ikkinchi soya”.

Abu-l-Vafo trigonometrik doiradagi tangens chiziqning to‘liq aniq geometrik ta’rifini berdi va teginish va kotangens chiziqlarga sekant va kosekant chiziqlarni qo‘shdi. U, shuningdek, barcha trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi algebraik bog'liqliklarni (og'zaki) ifoda etdi, xususan, aylananing radiusi birga teng bo'lgan holatlar uchun. Bu nihoyatda muhim ishni Yevropa olimlari 300 yildan keyin ko‘rib chiqdilar. Nihoyat, Abul-Vafo har 10¢ sinuslar jadvalini tuzdi.

Markaziy Osiyo olimlari asarlarida trigonometriya astronomiyaga xizmat qiluvchi fandan mustaqil qiziqish uyg‘otadigan maxsus matematik fanga aylandi.

Trigonometriya astronomiyadan ajralib, mustaqil fanga aylanadi. Bu boʻlim odatda ozarbayjon matematiki nomi bilan bogʻlanadi Nosiriddin Tusiy ().

Evropa fanida birinchi marta trigonometriyaning uyg'un taqdimoti muallif tomonidan yozilgan "Turli uchburchaklar to'g'risida" kitobida berilgan. Ioxann Myuller, matematikada yaxshi ma'lum Regiomontana(). Undagi yechim usullarini umumlashtiradi to'g'ri uchburchaklar va 0,0000001 aniqlikdagi sinuslar jadvallarini beradi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u aylana radiusini milga teng deb hisoblagan, ya'ni trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini o'nli kasrlarda ifodalagan, aslida kichik sonli sanoq tizimidan o'nli kasrga o'tgan.

14-asr ingliz olimi Bredvardin () Evropada birinchi bo'lib trigonometrik hisob-kitoblarga "to'g'ridan-to'g'ri soya" deb nomlangan kotangentni va "teskari soya" deb nomlangan tangensni kiritdi.

17-asr ostonasida. Trigonometriyaning rivojlanishida yangi yo'nalish paydo bo'ladi - analitik. Agar bungacha trigonometriyaning asosiy maqsadi uchburchaklarni yechish, geometrik figuralar elementlarini hisoblash va trigonometrik funksiyalar haqidagi ta’limot geometrik asosda qurilgan bo‘lsa, 17—19-asrlarda. trigonometriya asta-sekin matematik analizning boblaridan biriga aylanib bormoqda. Men trigonometrik funksiyalarning davriylik xossalarini ham bilardim Vet Birinchi matematik tadqiqotlari trigonometriya bilan bog'liq.

Shveytsariyalik matematik Iogann Bernulli () allaqachon trigonometrik funktsiyalarning belgilaridan foydalangan.

19-asrning birinchi yarmida. Fransuz olimi J. Furye har qanday davriy harakatni oddiy garmonik tebranishlar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotladi.

Mashhur Peterburg akademikining ishi trigonometriya tarixida katta ahamiyatga ega edi Leonhard Eyler (), u butun trigonometriyaga zamonaviy ko'rinish berdi.

Eyler o'zining "Tahlilga kirish" (1748) asarida trigonometriyani trigonometrik funktsiyalar haqidagi fan sifatida rivojlantirdi, unga bir nechta asosiy formulalardan trigonometrik formulalarning butun to'plamini keltirib, analitik taqdimotni berdi.

Eyler aylananing barcha choraklaridagi trigonometrik funksiyalarning belgilari haqidagi savolning yakuniy yechimi va umumiy holatlar uchun qisqartirish formulalarini chiqarish uchun javobgar edi.

Matematikaga yangi funksiyalar - trigonometrik funksiyalarni kiritgandan so'ng, bu funktsiyalarni cheksiz qatorga kengaytirish masalasini ko'tarish maqsadga muvofiq bo'ldi. Ma'lum bo'lishicha, bunday kengaytmalar mumkin:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Bu qatorlar trigonometrik miqdorlar jadvallarini tuzish va ularni istalgan darajadagi aniqlik bilan topishni ancha osonlashtiradi.

Eyler tomonidan boshlangan trigonometrik funktsiyalar nazariyasining analitik qurilishi ishlarda yakunlandi. , Gauss, Koshi, Furye va boshqalar.

"Geometrik mulohazalar, - deb yozadi Lobachevskiy, - trigonometriyaning boshlanishiga qadar, trigonometrik funksiyalarning o'ziga xos xususiyatlarini ochishga xizmat qilmaguncha zarur... Shu yerdan trigonometriya geometriyadan butunlay mustaqil bo'lib qoladi va tahlilning barcha afzalliklariga ega bo'ladi".

Hozirgi vaqtda trigonometriya matematikaning mustaqil sohasi sifatida qaralmaydi. Uning eng muhim qismi – trigonometrik funksiyalar haqidagi ta’limot matematik analizda o‘rganiladigan, yagona nuqtai nazardan tuzilgan funksiyalar haqidagi umumiyroq ta’limotning bir qismidir; boshqa qismi - uchburchaklar yechimi - geometriya bobi sifatida qaraladi.

3. Trigonometriya olami.

3.1 Trigonometriyaning turli fanlarda qo‘llanilishi.

Trigonometrik hisoblar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi.

Astronomiyada yaqin yulduzlargacha, geografiyaning diqqatga sazovor joylari orasidagi masofani o'lchash va sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini beruvchi triangulyatsiya texnikasi katta ahamiyatga ega. Trigonometriyaning quyidagi sohalarda qo'llanilishi diqqatga sazovordir: navigatsiya texnologiyasi, musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili, elektronika, ehtimollar nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyot (shu jumladan ultratovush), kompyuter tomografiyasi, farmatsevtika, kimyo, raqamlar nazariyasi, seysmologiya, meteorologiya, okeanologiya, kartografiya, fizikaning koʻpgina tarmoqlari, topografiya, geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron texnika, mashinasozlik, kompyuter grafikasi, kristallografiya.

Fizikada trigonometriya.

Garmonik tebranishlar.

Nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab u yoki bu yo'nalishda galma-gal harakat qilsa, nuqta nuqta deyiladi tebranishlar.

Tebranishlarning eng oddiy turlaridan biri aylana bo'ylab bir tekis aylanadigan M nuqta proyeksiyasining o'qi bo'ylab harakatlanishdir. Bu tebranishlar qonuni shaklga ega x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Odatda, bu chastota o'rniga, biz ko'rib chiqamiz siklik chastotasiw=, soniyada radyanlarda ifodalangan aylanishning burchak tezligini ko'rsatadi. Ushbu belgida bizda: x=Rchunki(wt+a). (2)

Raqam a chaqirdi tebranishning dastlabki bosqichi.

Barcha turdagi tebranishlarni o'rganish juda muhim, chunki biz tebranish harakatlari yoki to'lqinlari bilan atrofimizdagi dunyoda tez-tez duch kelamiz va ulardan katta muvaffaqiyat bilan foydalanamiz (tovush to'lqinlari, elektromagnit to'lqinlar).

Mexanik tebranishlar.

Mexanik tebranishlar - teng vaqt oralig'ida aniq (yoki taxminan) takrorlanadigan jismlarning harakati. Oddiy tebranish sistemalariga prujinali yoki mayatnikdagi yukni misol qilib keltirish mumkin. Misol uchun, prujinaga osilgan og'irlikni olaylik (rasmga qarang) va uni pastga suring. Og'irlik yuqoriga va pastga tebranishni boshlaydi..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "chap" eni="202 balandlik=146" balandligi="146"> Burilish grafigi (2) chapga siljish yo'li bilan burilish grafigidan (1) olinadi

kuni . a soni boshlang'ich faza deb ataladi.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), bu erda l mayatnik uzunligi, j0 esa burilishning dastlabki burchagi. Sarkac qancha uzun bo'lsa, u shunchalik sekinroq tebranadi (bu 1-7-rasm, VIII ilovada aniq ko'rinadi). 8-16-rasm, VIII-ilovada dastlabki og'ishning o'zgarishi sarkaç tebranishlarining amplitudasiga qanday ta'sir qilishini aniq ko'rishingiz mumkin, shu bilan birga davr o'zgarmaydi. Uzunligi ma'lum bo'lgan mayatnikning tebranish davrini o'lchab, yer yuzasining turli nuqtalarida tortishish kuchining g tezlanishini hisoblash mumkin.

Kondensatorning zaryadsizlanishi.

Sinusoidal qonun bo'yicha nafaqat ko'plab mexanik tebranishlar sodir bo'ladi. Elektr zanjirlarida esa sinusoidal tebranishlar sodir bo'ladi. Shunday qilib, modelning yuqori o'ng burchagida ko'rsatilgan sxemada kondansatör plitalaridagi zaryad q = CU + (q0 - CU) cos ōt qonuniga muvofiq o'zgaradi, bu erda C - kondansatkichning sig'imi, U - kuchlanish. joriy manbada L - g'altakning induktivligi, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=" >"Funktsiyalar va grafiklar" dasturida mavjud bo'lgan kondansatör modeli tufayli siz tebranish zanjirining parametrlarini o'rnatishingiz va tegishli grafiklarni qurishingiz mumkin g (t) va I (t) 1-4-chizmalarda kuchlanish o'zgarishiga qanday ta'sir qilishini aniq ko'rsatib beradi kondansatörning oqim kuchi va zaryadida va musbat kuchlanishda zaryad ham olishi aniq. ijobiy qadriyatlar. IX-ilovaning 5-8-rasmidan ko'rinib turibdiki, kondansatkichning sig'imini o'zgartirganda (IX-ilovaning 9-14-rasmida g'altakning induktivligini o'zgartirganda) va boshqa parametrlarni doimiy ushlab turganda, tebranish davri o'zgaradi, ya'ni tebranishlar chastotasi. kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqim o'zgaradi va kondansatkichni zaryadlash chastotasi o'zgaradi..(IX-ilovaga qarang).

Ikki quvurni qanday ulash mumkin.

Keltirilgan misollar sinusoidlar faqat tebranishlar bilan bog'liq holda paydo bo'ladi degan taassurot qoldirishi mumkin. Biroq, unday emas. Misol uchun, sinus to'lqinlari ikkita silindrsimon quvurni bir-biriga burchak ostida ulashda ishlatiladi. Ikki quvurni shu tarzda ulash uchun ularni diagonal ravishda kesish kerak.

Agar siz qiyshiq kesilgan trubani ochsangiz, u yuqoridan sinusoid bilan chegaralangan bo'lib chiqadi. Buni shamni qog'ozga o'rash, diagonal ravishda kesish va qog'ozni ochish orqali tekshirishingiz mumkin. Shuning uchun, trubaning tekis kesilishi uchun siz avval sinusoid bo'ylab yuqoridan metall qatlamni kesib, uni quvurga o'rashingiz mumkin.

Kamalak nazariyasi.

Kamalak nazariyasi birinchi marta berilgan 1637 yil Rene Dekart tomonidan. U kamalaklarni yomg'ir tomchilarida yorug'likning aks etishi va sinishi bilan bog'liq hodisa sifatida tushuntirdi.

Kamalak quyosh nurining sinish qonuniga binoan havoda muallaq turgan suv tomchilari tomonidan sinishi natijasida paydo bo'ladi:

bu yerda n1=1, n2≈1,33 havo va suvning sinish ko‘rsatkichlari, mos ravishda a – tushish burchagi, b – yorug‘likning sinish burchagi.

Shimoliy yog'du

Zaryadlangan quyosh shamoli zarralarining sayyoralarning yuqori atmosferasiga kirib borishi sayyora magnit maydonining quyosh shamoli bilan o'zaro ta'siri bilan belgilanadi.

Magnit maydonda harakatlanuvchi zaryadlangan zarrachaga ta'sir qiluvchi kuchga kuch deyiladi Lorenz. U zarrachaning zaryadiga va maydonning vektor mahsulotiga va zarracha tezligiga proportsionaldir

Amaliy mazmunli trigonometriya masalalari.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Ishqalanish koeffitsientini aniqlash.

Og'irligi P bo'lgan jism qiyalik burchagi a bo'lgan qiya tekislikka qo'yilgan. Tana o'z vazni ta'sirida t sekundda S tezlashtirilgan yo'lni bosib o'tdi. Ishqalanish koeffitsienti k ni aniqlang.

Nishab tekislikdagi tana bosimining kuchi =kPcosa.

Tanani pastga tortuvchi kuch F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa) ga teng.(1)

Agar tana qiya tekislik bo'ylab harakatlansa, u holda tezlanish a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; shuning uchun, .( 2)

(1) va (2) tengliklardan g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Planimetriyada trigonometriya.

Trigonometriya yordamida geometriya masalalarini yechishning asosiy formulalari:

sin²a=1/(1+ctg²a)=tg²a/(1+tg²a); cos²a=1/(1+tg²a)=ctg²a/(1+ctg²a);

sin(a±b)=sina*cosb±cosa*sinb; cos(a±b)=cosa*cos+sina*sinb.

To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlar va burchaklar nisbati:

1) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i boshqa oyog'ining ko'paytmasiga va qarama-qarshi burchakning tangensiga teng.

2) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuza va qo'shni burchak sinusining ko'paytmasiga teng.

3) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning ko'paytmasiga va qo'shni burchakning kosinusiga teng.

4) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i boshqa oyog'ining ko'paytmasiga va qo'shni burchakning kotangensiga teng.

1-topshiriq:AB va C tomonlaridaTeng yonli trapesiyaning DABCD nuqtalari M vaN shunday tarzda to'g'ri chiziqMN trapetsiya asoslariga parallel. Ma'lumki, har birida kichik trapezoidlar hosil bo'ladiMBCN vaAMND biz aylana chizishimiz mumkin va bu doiralarning radiuslari tengr vamos ravishda R. Sabablarini topingAD vaMiloddan avvalgi

Berilgan: ABCD-trapesiya, AB=CD, MêAB, NêCD, MN||AD, radiusi r va R bo'lgan aylana mos ravishda MBCN va AMND trapetsiyalariga yozilishi mumkin.

Toping: Miloddan avvalgi va miloddan avvalgi.

Yechim:

O1 va O2 kichik trapetsiyalarga chizilgan doiralarning markazlari bo'lsin. To'g'ridan-to'g'ri O1K||CD.

∆ O1O2K da cosa =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

∆O2FD toʻrtburchak boʻlgani uchun O2DF = a/2 => FD=R*ctg(a/2). Chunki AD=2DF=2R*ctg(a/2),

xuddi shunday BC = 2r* tan(a/2).

cos a = (1-tg²a/2)/(1+tg²(a/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(a/2))/(1+tg²(a) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²a/2)/(1+tg²(a/2)) => tg (a/2)=√ (r/R) => ctg(a/2)= √(R/r), keyin AD=2R*ctg(a/2), BC=2r*tg(a/2), javobni topamiz.

Javob : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Muammo 2:Uchburchakda ABC ma'lum partiyalar b, c va mediana va tepadan keladigan balandlik orasidagi burchak A. Uchburchakning maydonini hisoblang ABC.

Berilgan: ∆ ABC, AD-balandligi, AE-median, DAE=a, AB=c, AC=b.

Toping: S∆ABC.

Yechim:

CE=EB=x, AE=y, AED=g bo‘lsin. ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosyg(1) da kosinus teoremasi boʻyicha; va ∆ACE da kosinus teoremasi bo'yicha c²=x²+y²+2xy*cosyg(2). 1 dan 2 tenglikni ayirib, c²-b²=4xy*cosyg(3) ni olamiz.

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sing(4), keyin 3 tenglikni 4 ga boʻlsak: (c²-b²)/S=4*ctgg, lekin ctgg=tgab, shuning uchun S∆ABC= ( s²) boʻladi. -b²)/4*tga.

Javob: (s²- b² )/4*tg α .

San'at va arxitekturada trigonometriya.

Arxitektura trigonometrik formulalar qo'llaniladigan yagona fan sohasi emas. Kompozitsion qarorlarning aksariyati va chizmalarning qurilishi aniq geometriya yordamida amalga oshirildi. Ammo nazariy ma'lumotlar juda oz narsani anglatadi. Men san'atning oltin davrining frantsuz ustasi tomonidan bitta haykal yasaganiga misol keltirmoqchiman.

Haykalni qurishda proportsional munosabatlar ideal edi. Biroq, haykal baland poygaga ko‘tarilganda, u xunuk ko‘rinardi. Haykaltarosh istiqbolda ufqqa qarab ko'p tafsilotlar qisqarishini va pastdan yuqoriga qarab, uning idealligi haqidagi taassurot endi yaratilmasligini hisobga olmadi. Katta balandlikdagi raqam mutanosib ko'rinishini ta'minlash uchun ko'plab hisob-kitoblar amalga oshirildi. Ular asosan ko'rish usuliga, ya'ni ko'z bilan taxminiy o'lchashga asoslangan edi. Biroq, ma'lum nisbatlarning farq koeffitsienti raqamni idealga yaqinroq qilish imkonini berdi. Shunday qilib, haykaldan ko'rish nuqtasigacha, ya'ni haykalning tepasidan odamning ko'zlarigacha bo'lgan taxminiy masofani va haykalning balandligini bilib, biz jadval yordamida ko'rinishning tushish burchagi sinusini hisoblashimiz mumkin ( biz pastki nuqtai nazar bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin), shu bilan nuqta ko'rinishini topamiz (1-rasm)

Vaziyat o'zgaradi (2-rasm), chunki haykal AC balandlikka ko'tariladi va NS oshadi, biz C burchak kosinusining qiymatlarini hisoblashimiz mumkin va jadvaldan biz qarashning tushish burchagini topamiz. . Jarayonda siz AN ni, shuningdek, C burchakning sinusini hisoblashingiz mumkin, bu sizga asosiy trigonometrik identifikatsiya yordamida natijalarni tekshirish imkonini beradi. chunki 2a+gunoh 2a = 1.

Birinchi va ikkinchi holatlarda AN o'lchovlarini taqqoslab, proportsionallik koeffitsientini topish mumkin. Keyinchalik, biz chizilgan rasmni olamiz, so'ngra haykalni ko'targanimizda, raqam vizual ravishda idealga yaqinroq bo'ladi.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Tibbiyot va biologiyada trigonometriya.

Bioritm modeli

Trigonometrik funksiyalar yordamida bioritmlar modeli tuzilishi mumkin. Bioritm modelini yaratish uchun siz shaxsning tug'ilgan sanasini, mos yozuvlar sanasini (kun, oy, yil) va prognoz davomiyligini (kunlar soni) kiritishingiz kerak.

Baliqlarning suvda harakatlanishi sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra yuzaga keladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatib, keyin harakat traektoriyasini ko'rib chiqsangiz. Suzishda baliq tanasi y=tgx funksiya grafigiga o'xshash egri chiziq shaklini oladi.

Yurak formulasi

Eronlik universitet talabasi tomonidan olib borilgan tadqiqot natijasida Vohid Rizo Abbosiyning Sheroz, Birinchi marta shifokorlar yurakning elektr faolligi yoki boshqacha aytganda, elektrokardiografiya bilan bog'liq ma'lumotlarni tashkil qila oldilar.
Tehron deb nomlangan formula 14-geografik tibbiyot konferentsiyasida, so'ngra Niderlandiyada o'tkazilgan kardiologiyada kompyuter texnologiyalaridan foydalanish bo'yicha 28-konferentsiyada keng ilmiy jamoatchilikka taqdim etildi. Ushbu formula murakkab algebraik-trigonometrik tenglama bo'lib, 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametr, shu jumladan aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat. Shifokorlarning fikriga ko'ra, bu formula yurak faoliyatining asosiy parametrlarini tavsiflash jarayonini sezilarli darajada osonlashtiradi va shu bilan tashxisni tezlashtiradi va davolanishni o'zi boshlaydi.

Trigonometriya miyamizga ob'ektlarga masofani aniqlashga yordam beradi.

Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya er tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi. To'g'ri aytganda, "burchaklarni o'lchash" g'oyasi yangi emas. Hatto Qadimgi Xitoyning rassomlari ham uzoqdagi ob'ektlarni ko'rish sohasida yuqoriroq bo'yab, istiqbol qonunlarini biroz e'tiborsiz qoldirgan. Burchaklarni baholash orqali masofani aniqlash nazariyasi 11-asr arab olimi Alxazen tomonidan ishlab chiqilgan. Uzoq vaqt davomida unutilganidan so'ng, g'oya o'tgan asrning o'rtalarida psixolog Jeyms Gibson tomonidan qayta tiklandi va u o'z xulosalarini uchuvchilar bilan ishlash tajribasiga asosladi. harbiy aviatsiya. Biroq, bundan keyin nazariya haqida

yana unutilgan.

Yangi tadqiqot natijalari, taxmin qilinganidek, robotlar uchun navigatsiya tizimlarini loyihalashtirgan muhandislar, shuningdek, eng real virtual modellarni yaratish ustida ishlaydigan mutaxassislar uchun qiziqish uyg'otadi. Tibbiyot sohasida, shuningdek, miyaning ma'lum joylariga zarar etkazadigan bemorlarni reabilitatsiya qilishda qo'llash mumkin.

3.2 "Kichik qiziqarli" trigonometrik funktsiyalarni asl egri chiziqlarga aylantirishning grafik tasvirlari.

Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar.

Bilan. 16is. 19 Rozetkalar.

Polar koordinatalarda bitta segment tanlanadi e, qutb O va qutb o'qi Ox. Har qanday M nuqtaning holati OM qutb radiusi va OM nurlari va Ox nurlari hosil qilgan qutb burchagi j bilan aniqlanadi. OM uzunligini ifodalovchi r soni e(OM=re) va j burchakning daraja yoki radian bilan ifodalangan son qiymati M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi.

O nuqtadan boshqa har qanday nuqta uchun 0≤j ni hisobga olishimiz mumkin<2p и r>0. Biroq, r=f(j) ko‘rinishdagi tenglamalarga mos keladigan egri chiziqlarni qurishda j o‘zgaruvchisiga har qanday qiymatlarni (jumladan, manfiy va 2p dan yuqori) belgilash tabiiy va r ijobiy yoki ijobiy bo‘lishi mumkin. salbiy.

(j, r) nuqtani topish uchun O nuqtadan Ox o'qi bilan j burchak hosil qiluvchi nurni chizamiz va unga (r>0 uchun) yoki qarama-qarshi yo'nalishdagi davomini (r uchun) chizamiz. >0) ½ r ½e segmenti.

Agar siz birinchi navbatda radiusi e, 2e, 3e va hokazo (markazi O qutbda joylashgan) konsentrik doiralardan va j = 0°, 10°, 20°, ...,340°,350°; bu nurlar j uchun ham mos bo'ladi<0°, и при j>360°; masalan, j=740° va j=-340° da j=20° bo'lgan nurga tushamiz.

Grafik ma'lumotlarini o'rganish yordam beradi "Funktsiyalar va grafiklar" kompyuter dasturi. Ushbu dasturning imkoniyatlaridan foydalanib, biz trigonometrik funktsiyalarning qiziqarli grafiklarini o'rganamiz.

1 .Tenglamalar bilan berilgan egri chiziqlarni ko'rib chiqing:r=a+gunoh3j

I. r=sin3j (shamrok ) (1-rasm)

II. r=1/2+sin3j (2-rasm), III. r=1+ sin3j (3-rasm), r=3/2+ sin3j (4-rasm) .

IV egri chiziqning eng kichik qiymati r=0,5 va gulbarglari tugallanmagan ko'rinishga ega. Shunday qilib, a > 1 bo'lsa, trefoil barglari tugallanmagan ko'rinishga ega bo'ladi.

2. Egri chiziqlarni ko'rib chiqingqachon a=0; 1/2; 1;3/2

a=0 da (1-rasm), a=1/2 da (2-rasm), a=1 da (3-rasm) gulbarglar tugallangan ko‘rinishga ega bo‘lsa, a=3/2 da tugallanmagan beshta gulbarg bo‘ladi. ., (4-rasm).

3. Umuman olganda, egri chiziqr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), chunki bu sektorda 0°≤≤180 °.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> bitta gulbarg uchun sizga 360° dan ortiq "sektor" kerak bo'ladi.

1-4-rasmda gulbarglarning ko'rinishi =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= manzilida ko'rsatilgan. "16" balandligi="41 src=">.

4.Nemis matematigi va tabiatshunosi tomonidan topilgan tenglamalar Xabenicht o'simlik dunyosida joylashgan geometrik shakllar uchun. Masalan, r=4(1+cos3j) va r=4(1+cos3j)+4sin23j tenglamalari 1.2-rasmda keltirilgan egri chiziqlarga mos keladi.

Dekart koordinatalaridagi egri chiziqlar.

Lissaju egri chiziqlari.

Dekart koordinatalarida ko'plab qiziqarli egri chiziqlarni qurish mumkin. Tenglamalari parametrik shaklda berilgan egri chiziqlar ayniqsa qiziqarli ko'rinadi:

Bu erda t - yordamchi o'zgaruvchi (parametr). Masalan, Lissajus egri chiziqlarini ko'rib chiqing, ular umumiy tenglamalar bilan tavsiflanadi:

Agar t parametri sifatida vaqtni oladigan bo'lsak, u holda Lissaju figuralari o'zaro perpendikulyar yo'nalishda bajarilgan ikkita garmonik tebranish harakatining qo'shilishi natijasi bo'ladi. Umuman olganda, egri tomonlari 2a va 2b bo'lgan to'rtburchak ichida joylashgan.

Keling, buni quyidagi misollar yordamida ko'rib chiqaylik

I.x=sin3t; y=sin 5t (1-rasm)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (2-rasm)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(3-rasm)

Egri chiziqlar yopiq yoki ochiq bo'lishi mumkin.

Masalan, I tenglamalarni tenglamalar bilan almashtirish: x=sin 3t; y=sin5(t+3) ochiq egri chiziqni yopiq egri chiziqqa aylantiradi (4-rasm).

Shaklning tenglamalariga mos keladigan chiziqlar qiziqarli va o'ziga xosdir

da=arksin(sin k(x-a)).

y=arcsin(sinx) tenglamasidan kelib chiqadi:

1) va 2) siny=sinx.

Bu ikki shartda y=x funksiya qanoatlantiradi. Uni oraliqda grafik qilib (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> bizda y=p-x bo'ladi, chunki sin( p-x)=sinx va shu oraliqda

. Bu erda grafik BC segmenti tomonidan tasvirlangan.

Sinx davriy funktsiya 2p bo'lganligi sababli, (,) oraliqda tuzilgan singan ABC boshqa bo'limlarda takrorlanadi.

y=arcsin(sinkx) tenglama nuqtali siniq chiziqqa mos keladi https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

sinusoiddan yuqorida (ular uchun y>sinx) va y=-sinx egri chizig‘idan pastda bir vaqtda yotuvchi nuqtalar koordinatalarini qanoatlantirsin, ya’ni sistemaning “yechim maydoni” 1-rasmda soyalangan maydonlardan iborat bo‘ladi.

2. Tengsizliklarni ko'rib chiqing

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Bu tengsizlikni yechish uchun avvalo funksiya grafiklarini tuzamiz: y=sinx; y=-sinx.

Keyin y>sinx va bir vaqtning o'zida y bo'lgan joylarni bo'yab qo'yamiz<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Bu tengsizlik 2-rasmda soyalangan maydonlar bilan qondiriladi

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Keling, quyidagi tengsizlikka o'tamiz:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Bu tengsizlikni yechish uchun avvalo funksiyalarning grafiklarini tuzamiz: y=±arcsin(sinx); y=±arksin(sin(x+ )) .

Keling, mumkin bo'lgan echimlar jadvalini tuzamiz.

Keyin biz quyidagi tizimlarning echimlarini ko'rib chiqamiz va soya qilamiz.

)| va |y|>|sin(x-)|.

2) Ikkinchi omil noldan kichik, ya'ni.gif" width="17" height="41">)|.

3) Uchinchi omil noldan kichik, ya'ni. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| va |y|>|sin(x+Akademik fanlar" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademik fanlar, texnologiya, kundalik hayotda.

"Funktsiyalar va grafiklar" modellashtirish dasturidan foydalanish tadqiqot o'tkazish imkoniyatlarini sezilarli darajada kengaytirdi va fizikada trigonometriyani qo'llashni ko'rib chiqishda bilimlarni moddiylashtirishga imkon berdi. Ushbu dastur tufayli mayatnik tebranishlari misolida mexanik tebranishlarni kompyuterda laboratoriya tadqiqotlari olib borildi va elektr zanjiridagi tebranishlar ko'rib chiqildi. Kompyuter dasturidan foydalanish trigonometrik tenglamalar yordamida aniqlangan qiziqarli matematik egri chiziqlarni o'rganish va qutb va dekart koordinatalarida grafiklarni tuzish imkonini berdi. Trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi qiziqarli matematik naqshlarni ko'rib chiqishga olib keldi.

5. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.

1. ., Atanasov matematik muammolar amaliy mazmun bilan: Kitob. o'qituvchi uchun.-M.: Ta'lim, b.

2. Tabiat va texnologiyada Vilenkin: Kitob. sinfdan tashqari o‘qish uchun IX-X sinflar-M.: Ma’rifat, 5s (Bilimlar olami).

3. Uy xo'jaligi o'yinlari va o'yin-kulgi. Davlat ed. fizika va matematika yoqilgan. M, 9 sahifalar

4. Texnik maktablar uchun Kozhurov trigonometriyasi. Davlat ed. texnik-nazariy yoritilgan. M., 1956 yil

5. Kitob. o'rta maktabda matematikadan sinfdan tashqari o'qish uchun. Davlat tarbiyaviy pedagogik ed. Min. Ma'rifat RF, M., p.

6. ,Tarakanova trigonometriya. 10-sinf..-M.: Bustard, p.

7. Trigonometriya haqida va nafaqat u haqida: 9-11 sinf o'quvchilari uchun qo'llanma -M.: Ta'lim, 1996-80b.

8. Matematika o`qitishda amaliy mazmunli Shapiro masalalari. Kitob o'qituvchi uchun.-M.: Ta'lim, 1990-96 b.

Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarni va ularning geometriyada qo'llanilishini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Trigonometrik funktsiyalar turli burchaklar, uchburchaklar va davriy funktsiyalarning xususiyatlarini tavsiflash uchun ishlatiladi. Trigonometriyani o'rganish sizga ushbu xususiyatlarni tushunishga yordam beradi. Maktabdagi mashg'ulotlar va mustaqil ishlar trigonometriya asoslarini o'zlashtirishga va ko'plab davriy jarayonlarni tushunishga yordam beradi.

Qadamlar

Trigonometriya asoslarini bilib oling

Uchburchak tushunchasi bilan tanishing. Asosan, trigonometriya uchburchaklardagi turli munosabatlarni o'rganishdir. Uchburchakning uch tomoni va uchta burchagi bor. Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi 180 ga teng. Trigonometriyani o'rganishda siz uchburchaklar va tegishli tushunchalar bilan tanishishingiz kerak, masalan:

• gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomoni;
• o'tmas burchak - 90 darajadan ortiq burchak;
• o'tkir burchak - 90 darajadan kam burchak.

1. Birlik doirasini qurishni o'rganing. Birlik doirasi har qanday to'g'ri burchakli uchburchakni qurishga imkon beradi, shunda gipotenuza bittaga teng bo'ladi. Bu sinus va kosinus kabi trigonometrik funktsiyalar bilan ishlashda foydalidir. Birlik doirasini o'zlashtirganingizdan so'ng, siz ma'lum burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini osongina topishingiz va bu burchaklar bilan uchburchaklar bilan bog'liq muammolarni hal qilishingiz mumkin.

   • Misol 1. 30 graduslik burchakning sinusi 0,50 ga teng. Bu ma'lum burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq uzunligi gipotenuzaning yarmiga teng ekanligini anglatadi.
   • Misol 2. Ushbu munosabatdan foydalanib, siz 30 graduslik burchak mavjud bo'lgan uchburchakning gipotenuzasi uzunligini hisoblashingiz mumkin va bu burchakka qarama-qarshi oyog'ining uzunligi 7 santimetrga teng. Bunday holda, gipotenuzaning uzunligi 14 santimetrga teng bo'ladi.

2. Trigonometrik funktsiyalar bilan tanishing. Trigonometriyani o'rganishda bilishingiz kerak bo'lgan oltita asosiy trigonometrik funktsiya mavjud. Bu funktsiyalar to'g'ri burchakli uchburchakning turli tomonlari o'rtasidagi munosabatlarni ifodalaydi va har qanday uchburchakning xususiyatlarini tushunishga yordam beradi. Bu oltita funktsiya:

   • sinus (gunoh);
   • kosinus (cos);
   • tangens (tg);
   • sekant (sek);
   • kosekant (kosek);
   • kotangent (ctg).

3. Funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni eslang. Trigonometriyani o'rganishda barcha trigonometrik funktsiyalar bir-biri bilan bog'liqligini tushunish juda muhimdir. Sinus, kosinus, tangens va boshqa funksiyalar turlicha qoʻllanilsa-da, ular oʻrtasida maʼlum munosabatlar mavjud boʻlganligi sababli ular keng qoʻllaniladi. Bu munosabatlarni birlik doirasi yordamida tushunish oson. Birlik doirasidan foydalanishni o'rganing va unda tasvirlangan munosabatlardan foydalanib, ko'plab muammolarni hal qilishingiz mumkin.

   Trigonometriyani qo'llash

   1. Trigonometriyadan foydalanadigan asosiy fan sohalari haqida bilib oling. Trigonometriya matematikaning va boshqa fanlarning ko'p sohalarida foydalidir. Trigonometriyadan foydalanib, siz burchaklar va to'g'ri segmentlarning qiymatlarini topishingiz mumkin. Bundan tashqari, trigonometrik funktsiyalar har qanday tsiklik jarayonni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin.

      • Masalan, prujinaning tebranishlarini sinus funksiyasi bilan tasvirlash mumkin.

   2. Ommaviy jarayonlar haqida o'ylab ko'ring. Ba'zan matematika va boshqa fanlardagi mavhum tushunchalarni tushunish qiyin. Biroq, ular atrofimizdagi dunyoda mavjud va bu ularni tushunishni osonlashtirishi mumkin. Atrofingizdagi davriy hodisalarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ularni trigonometriya bilan bog'lashga harakat qiling.

      • Oy taxminan 29,5 kun davom etadigan bashorat qilinadigan tsiklga ega.

   3. Tabiiy tsikllarni qanday o'rganishingiz mumkinligini tasavvur qiling. Tabiatda ko'plab davriy jarayonlar sodir bo'lishini tushunganingizdan so'ng, bu jarayonlarni qanday o'rganishingiz mumkinligi haqida o'ylang. Bunday jarayonlarning grafikda qanday ko'rinishini aqlan tasavvur qiling. Grafik yordamida siz kuzatilgan hodisani tavsiflovchi tenglamani yaratishingiz mumkin. Bu erda trigonometrik funktsiyalar yordam beradi.

      • Dengiz qirg'og'idagi suv toshqini va oqimini tasavvur qiling. Ko'tarilish paytida suv ma'lum darajaga ko'tariladi, keyin esa to'lqin keladi va suv sathi pasayadi. To'lqinning pastligidan keyin yana to'lqin paydo bo'ladi va suv sathi ko'tariladi. Ushbu tsiklik jarayon cheksiz davom etishi mumkin. Uni kosinus kabi trigonometrik funktsiya bilan tasvirlash mumkin.

   Materialni oldindan o'rganing

   1. Tegishli bo'limni o'qing. Ba'zi odamlar trigonometriya tushunchalarini birinchi marta tushunishga qiynaladi. Agar siz darsdan oldin tegishli material bilan tanishsangiz, uni yaxshiroq tushunasiz. O'rganayotgan mavzuingizni tez-tez ko'rib chiqishga harakat qiling - bu orqali siz turli tushunchalar va trigonometriya tushunchalari o'rtasidagi ko'proq munosabatlarni bilib olasiz.

      • Bundan tashqari, bu sizga noaniq nuqtalarni oldindan aniqlash imkonini beradi.

   2. Eslatmalar oling. Darslikni ko'zdan kechirish hech narsadan yaxshiroq bo'lsa-da, trigonometriyani o'rganish sekin, o'ylangan o'qishni talab qiladi. Har qanday bo'limni o'rganayotganda, batafsil eslatma oling. Esda tutingki, trigonometriya haqidagi bilimlar asta-sekin to'planadi va yangi material ilgari o'rgangan narsangizga asoslanadi, shuning uchun siz allaqachon o'rgangan narsalaringiz bo'yicha eslatma olish sizni oldinga siljishga yordam beradi.

      • Boshqa narsalar bilan bir qatorda, o'qituvchingizdan so'rashingiz uchun barcha savollaringizni yozing.

   3. Darslikda berilgan masalalarni yechish. Trigonometriya siz uchun oson bo'lsa ham, siz hali ham muammolarni hal qilishingiz kerak. O'rgangan materialingizni haqiqatan ham tushunganingizga ishonch hosil qilish uchun darsdan oldin bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qiling. Agar sizda bu bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, dars davomida aniq nimani aniqlashingiz kerakligini aniqlaysiz.

      • Ko'pgina darsliklar oxirida muammolarga javob beradi. Ularning yordami bilan siz muammolarni to'g'ri hal qilganingizni tekshirishingiz mumkin.

   4. Sinfga kerak bo'lgan hamma narsani olib keling. Eslatmalaringizni va muammolarni hal qilish usullarini unutmang. Qo'lingizda bo'lgan ushbu materiallar sizga allaqachon o'rgangan narsalaringiz haqida xotirangizni yangilashga va materialni o'rganishda oldinga siljishga yordam beradi. Shuningdek, darslikni oldindan o'qish paytida yuzaga kelgan barcha savollarga aniqlik kiriting.

   Eslatmalar oling

   Hamma narsani bitta eslatmaga yozing. Trigonometriyaning turli tarmoqlari bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Istalgan vaqtda avval yoritilgan material haqida xotirangizni yangilashingiz uchun hammasini bir joyga yozib qo'yganingiz ma'qul. Eslatmalaringiz uchun alohida daftar yoki papka saqlang.

   • Shuningdek, siz o'z qaydlaringizdagi muammolarning echimlarini yozishingiz mumkin.

   1. Mashq qilishda ehtiyot bo'ling. Do'stlaringiz bilan muloqot qilish yoki qilish bilan chalg'imang uy vazifasi boshqa mavzuda. E'tiboringizni taqdim etilayotgan mavzu va vazifalarga qarating. Barcha muhim ma'lumotlarni va o'qituvchi doskaga yozgan narsalarni yozing.

Jadvalli burchak qiymatlari

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Kosinus

Sinus to'lqini

Tangentsoid

Kotangentoid

Burchaklarni gradusda o'lchash usuli ixtirosi miloddan avvalgi 3-2 ming yilliklarga to'g'ri keladi.

Qadimgi yunon olimlari sinus o'rniga trigonometrik funktsiyalar uchun zamonaviy belgilarni bilishmagan, ular akkordlardan foydalanganlar; Yunoncha "akkord" so'zi "kamon ipi" degan ma'noni anglatadi. Akkordlarning birinchi jadvallari bizga Ptolemeyning "Almagest" kitobida (eramizning 2-asri) kelgan.

Hindistonda Aryabxata matematika risolasida 499 yilda sinus, kosinus va sineverse funktsiyalari topilgan. Ular faqat o'tkir burchaklar uchun ko'rib chiqildi.

Biz hozir ham ishlatib kelayotgan yangi trigonometrik funksiyalar 9-10-asrlarda Yaqin Sharq mamlakatlari olimlari tomonidan kiritilgan. "Tangens" va "kotangens" tushunchalari, shuningdek, bu yangi trigonometrik miqdorlarning birinchi jadvallari quyosh soatlarini (gnomonics) o'rganishdan tug'ilgan. Quyosh soati erga vertikal ravishda yopishtirilgan ustun edi. Vaqt qutb tomonidan tushirilgan soyaning uzunligi va yo'nalishi bilan hisoblangan. Siferat yerga qoziqlar qo'yilgan platforma edi.

Jami oltita trigonometrik miqdor mavjud: sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant, kosekant.

Evropada trigonometriya matematikaning mustaqil sohasi sifatida qaralgan birinchi ish nemis astronomi va matematigi Regiomontanusning 1462 - 1466 yillarda yozilgan "Har xil turdagi uchburchaklar haqida beshta kitob" asaridir. Unda muallif o'sha paytda ma'lum bo'lgan trigonometriya bo'yicha barcha bilimlarni tizimlashtirgan va taqdim etgan.

Trigonometriyadagi eng muhim tadqiqotlar Nosiriddin Tusiy (1201 - 1274), Jon Uollis (1616 - 1703), Jeyms Gregori (1638 - 1675), Isaak Barrou (1630 - 1677), Rojer Kots (1682 - 1716) nomlari bilan bog'liq. ), Isaak Nyuton (1643 - 1727), Leonhard Eyler (1707 - 1783).

HAYOTIMIZDA TRIGONOMETRIYA

Ko'pchilik so'raydi: trigonometriya nima uchun kerak? Bizning dunyomizda u qanday qo'llaniladi? Trigonometriya nima bilan bog'liq bo'lishi mumkin? Va bu savollarga javoblar. Trigonometriya yoki trigonometrik funktsiyalar astronomiyada (ayniqsa, samoviy jismlarning joylashuvini hisoblash uchun) sferik trigonometriya zarur bo'lganda, dengiz va aeronavigatsiyada, musiqa nazariyasida, akustikada, optikada, moliyaviy bozor tahlilida, elektronikada, ehtimollikda qo'llaniladi. nazariya, statistika, biologiya, kompyuter tomografiyasi va ultratovush kabi tibbiy tasvirlash, farmatsiya, kimyo, raqamlar nazariyasi, seysmologiya, meteorologiya, okeanografiya, ko'plab fizika fanlari, er o'lchash va geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektrotexnika, mashinasozlik, qurilish muhandisligi, kompyuter grafikasi, kartografiya, kristallografiya, o'yinlarni ishlab chiqish va boshqa ko'plab sohalarda.

Geodeziya

O'lchovchilar ko'pincha sinuslar va kosinuslar bilan shug'ullanishlari kerak. Ular burchaklarni aniq o'lchash uchun maxsus asboblarga ega. Sinuslar va kosinuslar yordamida burchaklarni er yuzasidagi nuqtalarning uzunligi yoki koordinatalariga aylantirish mumkin.

Qadimgi astronomiya

Trigonometriyaning boshlanishini Qadimgi Misr, Bobil va Qadimgi Xitoyning matematik qoʻlyozmalarida topish mumkin. Rinda papirusidagi (miloddan avvalgi 2-ming yillik) 56-masalada balandligi 250 tirsak va poydevor tomonining uzunligi 360 tirsak boʻlgan piramidaning qiyaligini topish taklif qilingan.

Trigonometriyaning keyingi rivojlanishi astronom Aristarx nomi bilan bog'liq Samos (miloddan avvalgi III asr). Uning “Quyosh va Oyning kattaliklari va masofalari haqida” risolasida samoviy jismlarga boʻlgan masofalarni aniqlash muammosi qoʻyilgan; bu masala to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbatini hisoblashni talab qildida ma'lum ma'no burchaklaridan biri. Aristarx kvadratura paytida Quyosh, Oy va Yer tomonidan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqdi. U gipotenuzaning qiymatini (Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofa) oyoq orqali (Yerdan Oygacha bo'lgan masofa) qo'shni burchakning ma'lum qiymati (87 °) bilan hisoblashi kerak edi, bu hisoblashga teng. qiymatburchakning gunohi 3. Aristarxning fikriga ko'ra, bu qiymat 1/20 dan 1/18 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan, ya'ni Quyoshgacha bo'lgan masofa Oyga qaraganda 20 baravar katta.; Aslida, Quyosh Oydan deyarli 400 marta uzoqroqda joylashgan, bu xato burchakni o'lchashdagi noaniqlik tufayli yuzaga kelgan.

Bir necha o'n yillar o'tib Klavdiy Ptolemey «Geografiya», «Analemma» va «Planisferium» asarlarida beradi batafsil bayonot kartografiya, astronomiya va mexanikaga trigonometrik ilovalar. Boshqa narsalar qatorida, u tasvirlanganstereografik proyeksiyada bir qancha amaliy masalalar o‘rganildi, masalan: balandlik va azimutni aniqlash.unga ko'ra samoviy jism pasayish va soat burchagi. Trigonometriya nuqtai nazaridan, bu sferik uchburchakning boshqa ikki tomondan va qarama-qarshi burchakdan tomonini topish kerakligini anglatadi.

· kunning vaqtini aniq belgilash;

· samoviy jismlarning kelajakdagi joylashuvi, ularning quyosh chiqishi va botishi lahzalarini, quyosh tutilishini hisoblash va Oy;

· joriy joylashuvning geografik koordinatalarini topish;

· ma'lum bo'lgan shaharlar orasidagi masofani hisoblash geografik koordinatalar.

Gnomon - eng qadimgi astronomik asbob, vertikal ob'ekt (stela, ustun, qutb),

Uning soyasining uzunligi (peshin vaqtida) quyoshning burchak balandligini belgilaydi.

Shunday qilib, kotangent deganda balandligi 12 (ba'zan 7) birlik bo'lgan vertikal gnomondan olingan soyaning uzunligi tushunilgan; dastlab bu tushunchalar quyosh soatlarini hisoblash uchun ishlatilgan. Tangens gorizontal gnomonning soyasi edi. Kosekant va sekant mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchaklarning gipotenuslari edi (chapdagi rasmda AO segmentlari)

Arxitektura

Trigonometriya qurilishda va ayniqsa arxitekturada keng qo'llaniladi. Ko'pgina kompozitsion echimlar va konstruktsiyalar

Chizmalar geometriya yordamida aniq bajarilgan. Ammo nazariy ma'lumotlar juda oz narsani anglatadi. Men san'atning oltin davrining frantsuz ustasi tomonidan bitta haykal yasaganiga misol keltirmoqchiman.

Haykalni qurishda proportsional munosabatlar ideal edi. Biroq, haykal baland poygaga ko‘tarilganida, u xunuk ko‘rinardi. Haykaltarosh istiqbolda ufqqa qarab ko'p tafsilotlar qisqarishini va pastdan yuqoriga qarab, uning idealligi haqidagi taassurot endi yaratilmasligini hisobga olmadi. Amalga oshirildi

raqam katta balandlikdan mutanosib ko'rinishi uchun juda ko'p hisob-kitoblar. Ular asosan ko'rish usuliga, ya'ni ko'z bilan taxminiy o'lchashga asoslangan edi. Biroq, ma'lum nisbatlarning farq koeffitsienti raqamni idealga yaqinroq qilish imkonini berdi. Shunday qilib, haykaldan ko'rish nuqtasigacha, ya'ni haykalning tepasidan odamning ko'zlarigacha bo'lgan taxminiy masofani va haykalning balandligini bilib, biz jadval yordamida ko'rinishning tushish burchagi sinusini hisoblashimiz mumkin ( biz pastki nuqtai nazar bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin), shu bilan nuqta ko'rinishini topamiz

Vaziyat haykalning balandlikka ko'tarilishi bilan o'zgaradi, shuning uchun haykalning tepasidan odamning ko'zlarigacha bo'lgan masofa oshadi va shuning uchun tushish burchagi sinusi ortadi. Birinchi va ikkinchi hollarda haykalning tepasidan yergacha bo'lgan masofadagi o'zgarishlarni taqqoslab, biz proporsionallik koeffitsientini topishimiz mumkin. Keyinchalik, biz chizilgan rasmni olamiz, keyin esa haykalni ko'targanda, rasm idealga vizual ravishda yaqinroq bo'ladi.

Tibbiyot va biologiya.

Borritm modeli trigonometrik funksiyalar yordamida tuzilishi mumkin. Bioritm modelini yaratish uchun siz shaxsning tug'ilgan sanasini, mos yozuvlar sanasini (kun, oy, yil) va prognoz davomiyligini (kunlar soni) kiritishingiz kerak.

Yurak formulasi. Eronlik universitet talabasi tomonidan olib borilgan tadqiqot natijasida Vohid Rizo Abbosiyning Sheroz, Birinchi marta shifokorlar yurakning elektr faolligi yoki boshqacha aytganda, elektrokardiografiya bilan bog'liq ma'lumotlarni tashkil qila oldilar. Formula murakkab algebraik-trigonometrik tenglama bo'lib, 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametr, shu jumladan aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat. Shifokorlarning fikriga ko'ra, bu formula yurak faoliyatining asosiy parametrlarini tavsiflash jarayonini sezilarli darajada osonlashtiradi va shu bilan tashxisni tezlashtiradi va davolanishni o'zi boshlaydi.

Trigonometriya, shuningdek, miyamizga ob'ektlarga masofani aniqlashga yordam beradi.

Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya er tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi. To'g'ri aytganda, "burchaklarni o'lchash" g'oyasi yangi emas. Hatto Qadimgi Xitoyning rassomlari ham uzoqdagi ob'ektlarni ko'rish sohasida yuqoriroq bo'yab, istiqbol qonunlarini biroz e'tiborsiz qoldirgan. Burchaklarni baholash orqali masofani aniqlash nazariyasi 11-asr arab olimi Alxazen tomonidan ishlab chiqilgan. O'tgan asrning o'rtalarida uzoq vaqt unutilganidan so'ng, bu g'oya psixolog Jeyms tomonidan qayta tiklandi.

Gibson (Jeyms Gibson), u o'z xulosalarini harbiy aviatsiya uchuvchilari bilan ishlash tajribasiga asoslagan. Biroq, bundan keyin nazariya haqida

yana unutilgan.

Baliqlarning harakatlanishi suv sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra yuzaga keladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatib, keyin harakat traektoriyasini ko'rib chiqsangiz. Suzish paytida baliqning tanasi shakllanadi

y=tgx funksiya grafigiga o'xshash egri chiziq.

Ishni o'lchash