Разделы сайта
Выбор редакции:
- Любовницы тараса шевченко Любимые женщины т г шевченко воспитательный час
- Нежные женщины тараса Женщины в жизни шевченко презентация
- Джеймс джойс краткая биография
- Игры на обогащение словарного запаса
- Комплексные чертежи многогранников"
- Как приготовить молочный суп с макаронами Как варить молочное с макаронами
- Изотерапия в работе с детьми, имеющими ограниченные возможности здоровья
- Хиллари Клинтон – психически больной человек?
- Окаменение Богомолки: милиционер поседел от страха
- Магические числа для привлечения денег (5 фото) Как найти счастливую купюру
Реклама
Прямоугольный треугольник формулы сторон онлайн калькулятор. Как найти длину третьей стороны треугольника? Площадь и площадь треугольника |
Есть три варианта решения этой задачи. Первый - если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй - если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий - когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее. Как найти равные катеты, при известной гипотенузе
В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит - a=a.
Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле
Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:
Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами "a" (прилежащий к углу) и "b" (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом "a" и гипотенузой.
Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту. Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет
В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.
В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника. Что такое прямоугольный треугольникДля начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой. Находим катет прямоугольного треугольникаСуществует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольникаЕсли нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b². Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см). Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольникаТакже можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты. Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синусаСинус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c. Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см). Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинусаКосинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c. Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см). Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенсаТангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b. Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см). Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенсаКотангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a. Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см). Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.
В математике при рассмотрении треугольника обязательно уделяют много внимание его сторонам. Поскольку данные элементы формируют эту геометрическую фигуру. Стороны треугольника используются для решения многих задач по геометрии. Определение понятияОтрезки, соединяющие три точки, которые не лежат на одной прямой, называются сторонами треугольника. Рассматриваемые элементы ограничивают часть плоскости, что называют внутренностью данной геометрической фигуры.
Характеристики понятияРасчет сторон треугольника предполагает определение всех остальных параметров фигуры. Зная длину каждого из этих отрезков можно легко вычислить периметр, площадь и даже углы треугольника. Рис. 1. Произвольный треугольник. Суммировав стороны данной фигуры можно определить периметр. P=a+b+c, где a, b, c – стороны треугольника А для нахождения площади треугольника тогда следует использовать формулу Герона. $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Где p – полупериметр. Углы данной геометрической фигуры вычисляют через теорему косинусов. $$cos α={{b^2+c^2-a^2}\over{2bc}}$$ ЗначениеЧерез соотношение сторон треугольника выражают некоторые свойства этой геометрической фигуры:
Один из признаков равенства двух треугольников является соотношение суммы всех сторон геометрической фигуры. Если эти значения одинаковые, то и треугольники будут равными. Некоторые свойства треугольника зависят от его типа. Поэтому вначале следует учитывать величину сторон или углов этой фигуры. Формирование треугольниковЕсли две стороны рассматриваемой геометрической фигуры будут одинаковыми, то этот треугольник называют равнобедренным. Рис. 2. Равнобедренный треугольник. Когда все отрезки в треугольнике будут равны, то получится равносторонний треугольник. Рис. 3. Равносторонний треугольник. Любое вычисление удобнее проводить в тех случаях, когда произвольный треугольник можно отнести к определенному типу. Поскольку тогда нахождение требуемого параметра этой геометрической фигуры значительно упростится. Хотя правильно подобранное тригонометрическое уравнение позволяет решить многие задачи, в которых рассматривается произвольный треугольник. Что мы узнали?Три отрезка, которые соединены между собой точками и не принадлежат одной прямой, формируют треугольник. Эти стороны образуют геометрическую плоскость, что используется при определении площади. С помощью данных отрезков можно найти много таких важных характеристик фигуры, как периметр и углы. Соотношение сторон в треугольнике помогает найти его тип. Некоторыми свойствами данной геометрической фигуры можно воспользоваться только, если известны размеры каждой из ее сторон. Тест по темеОценка статьиСредняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 132. Определение треугольника Треугольник - это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла. Онлайн-калькуляторТреугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам). Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами. Формула площади треугольника по основанию и высотеS = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h S = 2 1 ⋅ a ⋅ h , A a
a
- основание треугольника; Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.). Решение A = 10 a=10
a
=
1
0
Подставляем в формулу для площади и получаем: Ответ: 25 (см. кв.) Формула площади треугольника по длинам всех сторонS = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) , A , b , c a, b, c
a
,
b
,
c
- длины сторон треугольника; P = 1 2 (a + b + c) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p = 2 1 (a + b + c ) Эта формула называется формулой Герона . ПримерНайти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.). Решение A = 3 a=3
a
=
3
Найдем половину периметра p p p : P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6 p = 2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6 Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника: S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 S = 6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (см. кв.) Ответ: 6 (см. кв.) Формула площади треугольника по одной стороне и двум угламS = a 2 2 ⋅ sin β sin γ sin (β + γ) S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)} S = 2 a 2 ⋅ sin (β + γ ) sin β sin γ , A a
a
- длина стороны треугольника; Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника. Решение A = 10 a=10
a
=
1
0
По формуле: S = 1 0 2 2 ⋅ sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 S = 2 1 0 2 ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (см. кв.) Ответ: 14.4 (см. кв.) Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружностиS = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R} S = 4 R a ⋅ b ⋅ c , A , b , c a, b, c
a
,
b
,
c
- стороны треугольника; Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус R R R окружности. Пусть он будет равен 10 (см.). Решение A = 3 a=3
a
=
3
S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 S = 4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (см. кв.) Ответ: 1.5 (см.кв.) Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружностиS = p ⋅ r S=p\cdot r p p p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} a , b , c a, b, c ПримерПусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи. Решение a = 3 a=3 p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac{3+4+5}{2}=6 S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12 Ответ: 12 (см. кв.) Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между нимиS = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α) S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha) b , c b, c α \alpha ПримерСтороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника. Решение b = 5 b=5 S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5 Ответ: 7.5 (см. кв.) |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Нежные женщины тараса Женщины в жизни шевченко презентация
- Джеймс джойс краткая биография
- Игры на обогащение словарного запаса
- Комплексные чертежи многогранников"
- Как приготовить молочный суп с макаронами Как варить молочное с макаронами
- Изотерапия в работе с детьми, имеющими ограниченные возможности здоровья
- Хиллари Клинтон – психически больной человек?
- Окаменение Богомолки: милиционер поседел от страха
- Магические числа для привлечения денег (5 фото) Как найти счастливую купюру
- Сколько стоит страхование жизни и здоровья?